Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
rozciągniętejstruny(Recherchessurlacourbequeformeunecordetenduemiseen
vibration),otrzymałizbadałrównanie:
c
2
w
w
2
x
w
2
-
w
w
2
t
w
2
1
0
,
(4.1)
noszącedzisiajnazwęrównaniad’Alemberta.Wrównaniu(4.1)
w1
wxt
(
,
)
oznacza
wychyleniestrunyodpołożeniarównowagi,
t
oznaczaczas,
x
jestwspółrzędną(
x
e
(
ab
,
)
),
c!
0
jeststałącharakteryzującąstrunęijejnaciągnięcie.Równanie(4.1)nazywasięobecnie
równaniemdrgańwłasnychstruny(strunybezobciążenia,pozaoczywiścienaciągiemibez
tłumienia).Możnawykazać,żekażderozwiązanierównania(4.1)klasy
C
2
(tzn.wklasie
funkcjizciągłądrugąpochodną)jestopostaci
w
1
wxt
(
,
)
1
f
(
xct
+
)
+
gxct
(
-
)
.
Dwiefunkcjewystępującew(4.2)sąrozwiązaniamiprostszychrównańróżniczkowych
c
w
w
w
x
-
w
w
w
t
1
0
c
w
w
w
x
+
w
w
w
t
1
0
,
oraz
(4.2)
(4.3)
którereprezentujądwaruchystruny(ointerpretacjifalbiegnącychzprędkością
c
odpowiedniowlewąiwprawąstronę,borównanie(4.1)jesttypufalowego).Równanie(4.1)
niewyznaczaruchujednoznacznie.Trzebadoniegodołączyćwarunkipoczątkowe(położenie
iprędkośćstrunywpewnejchwiliczasu)orazwarunkibrzegowe,tzn.pewnąinformację
oruchukońcówstruny.Metodyrozwiązywaniarównania(4.1)zwymienionymiwarunkami
brzegowymiipoczątkowymisąobecnieomawianewkażdejksiążceorównaniach
różniczkowychcząstkowych.Dlanasistotnejest,żedodatniastała
c
mawymienione
powyżejinterpretacjeoraz
c
1
U
N
L
,
(4.4)
gdzie:
N
-wartośćsiłynapięciastruny,
U
L
-tzw.gęstośćliniowa(jeżeli
A
jestpolem
przekrojupoprzecznegostruny,to
U
L
1
U
A
,gdzie
U
jestgęstościąmateriału,zktórego
wykonanajeststruna).
Strunajestnwidoczna”wrównaniu(4.1)jakotwórjednowymiarowy.Własnościfizyczne
imechanicznemateriałustrunysąukrytewstałej
c
.Zauważmy,żew(4.4)niemainformacji
otym,żestrunajestwykonananp.zmateriałuoliniowychwłasnościachsprężystychiaby
równaniemiałosensmusimyzałożyć,że
N
<
N
0
,
(4.5)
gdzie
N
0
jestgranicznądopuszczalnąwartościąsiłynaciągustruny.
Możemyprzyjąć,żeznamynaprężeniegraniczne(wytrzymałośćnarozciąganie)
V
0
materiałustruny,czyliwobectego
N
0
1
A
V
0
.Wprzypadkustrunyniejesttoistotne
ograniczenie,gdyżsamorównanie(4.1)jestwyprowadzoneprzyzałożeniu,żewychylenie
26
