Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.Wyprowadzićrównaniedrgającejmembrany.Sformułowaćzagadnieniebrzegowo-
początkowe,por.Kaliski(1966),Kącki(1993),Szcześniak(2000)iWoroszył(1984).
4.Stosującmetodęrozdzieleniazmiennychrozwiązaćkilkawybranychprzykładów
zagadnieńbrzegowo-początkowychdlastrunyimembrany.Zwrócićszczególnąuwagęna
zadaniezmembranąwkształcieprostokąta(obliczyćkilkapierwszychczęstościdrgańtej
membrany),patrztakżewskazówki1i2.Przeanalizowaćwtymprzypadkutzw.figury
Chladniego,patrzSzcześniak(2000),str.102-123.
Wskazówki
1.Analizującdrganiawłasnemembranyprostokątnejowymiarach
a
i
b
,dorównań(4.6)1
wpostaci
w-V
c
2
2
w1
0
,dołączyćwarunkibrzegowe:
w
(
y
)
1
way
(
)
1
wx
(
,0
)
1
wxb
(
,
)
1
0
0,
,
orazzałożyćrozwiązaniewpostaci
wxyt
(
)
1
WxyTt
(
,
)()
.Ostatecznerozwiązanie
,
,
możemyzapisaćnastępująco:
f
f
wxyt
(
,
)
1
¦¦
ª
¬
w
mn
sin
(
D
m
x
)
sin
(
E
n
y
)(
sin
Z
mn
t
+
cos
Z
mn
t
)
º
¼
,
,
m
1
1
n
1
1
gdzie:
D
m
1
m
a
S
,
E
n
1
n
b
S
,
Z
mn
1
S
c
§
¨
©
m
a
·
¸
¹
2
+
§·
¨¸
©¹
b
n
2
.
2.Wzadaniustatyki,wprzypadkumembranyprostokątnejowymiarachaib,zwarunkami
brzegowymi
w
(
y
)
1
way
(
)
1
wx
(
,0
)
1
wxb
(
,
)
1
0
,
0,
,
obciążonej
prostopadle
do
powierzchni
środkowej,
mamy
równanie
różniczkowe
Poissona
o
postaci:
V
2
wxy
(
)
1-
qxy
(
,
)
/
N
.Zadaniemożnarozwiązaćpodwójnymiszeregamisinusowymi,
,
zakładającfunkcjęugięciawpostaci
f
f
wxy
(
,
)
1
¦¦
ª
¬
w
mn
sin
(
D
m
x
)
sin
(
E
n
y
)
º
¼
,
m
1
1
n
1
1
gdzie:
D
m
1
m
a
S
,
E
n
1
n
b
S
.Wrozwiązaniupodstawiamy:
w
mn
1
N
(
D
q
m
2
mn
+
E
n
2
)
,
gdzie
q
mn
1
ab
4
³³
ab
00
pxy
(
,
)
sin
(
D
m
x
)
sin
(
E
n
y
)
dd
xy
.
3.Zadaniepowyższe,wprzypadkuobciążeniawpostacifunkcji
px
()
możnałatwo
rozwiązaćpojedynczymiszeregamisinusowymi,przyjmującnastępującąfunkcjęugięcia
membrany:
wxy
(
,
)
1
¦
m
f
1
1
w
m
()
y
sin
(
D
m
x
)
.
28
