Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
2.Starateoriakwantów.Atomwodoru
c.EnergiacałkowitaEoscylatorajestwielkościąstałą(układizolowany).Najprościej
obliczyćjądlatakiejchwilit,wktórejq=0.Wówczasz(2.4)wynika,żecos(
w
t+
j
)=0,
zatemsin(
w
t+
j
)=1,energiapotencjalnaE
p=0,aenergiacałkowitarównajestenergii
kinetycznejE=E
k.Korzystającztegoorazz(2.6)i(2.5),otrzymujemy
.
(2.9)
Porównując(2.8)i(2.9),widać,żepoleelipsywpłaszczyźniefazowejwynosi
(2.10)
ZgodniezzałożeniemPlancka(2.1)energiaoscylatoramoże
zmieniaćsiętylkoowartościskwantowane,ostatniarówność
oznaczazatem,iżpolaelipsoscylatorawpłaszczyźniefazowejsą
skwantowane.Zewszystkichklasyczniemożliwychwartościpól
oscylatorawpłaszczyźnieqpdozwolonesąwięctylkopewne,
dyskretne,spełniającewarunek
S=nh,n=1,2,3,ł
(2.11)
Narysunku2.1przedstawionyjestdiagramfazowyoscyla-
toraliniowegozzaznaczonymiskwantowanymielipsamirepre-
zentującymijegoskwantowanestanyenergetyczne.Zgodnie
z(2.11)powierzchniazawartamiędzydwiemakolejnymielipsa-
mirównajesth.Ruchoscylatorawkażdymzdowolnychstanów
kwantowychjestreprezentowanyobecnieprzezpunktprze-
Rys.2.1.Skwantowanestanyenergetyczneprostego
mieszczającysiępojednejzustalonychelips,aemisjilubab-
oscylatoraharmonicznegonawykresieqp
sorpcjipromieniowaniatowarzyszyprzeskokpunktunamniej-
sząlubwiększąelipsę.
d.Ponieważpoleelipsywpłaszczyźnieqpmożnaprzedstawićogólnymwzoremza
pomocącałkiokrężnej(całkowaniepojednympełnymokresiezmiennościwspółrzęd-
nejq)
(2.12)
więcwarunekkwantowy(2.11)możnazapisaćrównieżwpostacitzw.całkifazowej
(2.13)
TapostaćkwantowegowarunkuPlanckajestbardzokorzystna,gdyżmożnajązastoso-
waćdodowolnychwspółrzędnychuogólnionychiodpowiadającychimpędówuogólnio-
nychi
Opierającsięnatakimskwantowanymoscylatorze,Planckwyprowadziłprawopro-
mieniowaniaciaładoskonaleczarnegoopisującedanedoświadczalne,aBohrstworzył
swojąteoriębudowyatomu.PunktemwyjściarozważańBohrabyłmodelatomuzapropo-
nowanyprzezRutherforda,którypoczątkowoopierałsięnawcześniejszymmodelu
Thomsona.
