Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
ROZDZIAŁ12.RÓWNOWAGAISPRĘŻYSTOŚĆ
%
Jeślidlawszystkichelementówciałaprzyspieszenieą
tośrodekciężkościciałaijegośrodekmasyznajdująsięwtymsamym
punkcie.
gjestjednakowe,
Stwierdzenietojestwprzybliżeniuprawdziwedlaciał,zjakimispoty-
kamysięnacodzień,gdyżprzyspieszenieą
gzmieniasiębardzoniewiele
wzdłużpowierzchniZiemioraztylkonieznaczniemalejezewzrostemwy-
sokościnadZiemią.Dlaciał,takichjakmyszczyłoś,możemywięcspo-
kojniezakładać,żesiłaciężkościjestdonichprzyłożonawichśrodku
masy.wdalszymrozważaniachbędziemytozakładać,aterazprzedsta-
wimydowódsłusznościtegozałożenia.
Dowód
Rozważmynajpierwposzczególneelementyciała.Narysunku12.4aprzed-
stawionociałorozciągłeomasieMorazjedenzjegoelementówomasie
mi.Siłaciężkością
Fgidziałającanakażdyztakichelementówjestrówna
mią
gi.wskaźnikprzyą
gioznacza,żejesttoprzyspieszeniegrawitacyjne
wmiejscu,wktórymznajdujesiętenelement(wprzypadkuogólnymmoże
onobyćróżnedlaróżnychelementówciała).
wsytuacjizrysunku12.4azsiłąą
Fgidziałającąnaodpowiednielement
ciałazwiązanyjestmomentsiłyMiwzględempunktuO,przyczymramię
tejsiływynosixi.Korzystajączrównania(10.41)(M=riF),moment
Mimożemyzapisaćjako
Mi=xiFgi.
(12.10)
Rys012040a)Elementmasymiciała
rozciągłego.Działającanatenelementsiła
ciężkością
Fgimaramięxiwzględem
początkuukładuwspółrzędnychO.b)Siła
ciężkością
Fgdziałającanacałeciałojest
przyłożonawśrodkuciężkościciała(ŚC).
Maonaramięx
układuwspółrzędnychO
ŚCwzględempoczątku
wypadkowymomentsiłdziałającychnawszystkieelementyciałajestwięc
równy
Mwyp=ΣMi=ΣxiFgi.
(12.11)
Aterazrozpatrzmyciałojakocałość.Narysunku12.4bprzedstawiono
siłęciężkościprzyłożonądośrodkaciężkościciała.Maonaramięx
ŚC
względempunktuO,azatemjejmomentMmożemyzapisać,korzystając
znówzrównania(10.41),jako
M=x
ŚCFg.
(12.12)
Siłaciężkością
Fgdziałającanacałeciałojestrównasumiesiłciężkości
Fgidziałającychnaposzczególnejegoelementy,zatemwrównaniu(13.12)
ą
podstawiamyΣFgizamiastFgiotrzymujemy
M=x
ŚCΣFgi.
(12.13)
Przypomnijmysobieteraz,żemomentsiłyzwiązanyzsiłąą
Fgprzyłożoną
dociaławjegośrodkuciężkościjestrównywypadkowemumomentowi
siłypochodzącemuodsiłą
Fgidziałającychnawszystkieelementyciała(tak
właśniezdefiniowaliśmyśrodekciężkości).wobectegomomentsiłyM
zrównania(12.13)jestrównyMwypzrównania(12.11).Przyrównującdo
siebieprawestronytychrównań,dostajemy
x
ŚCΣFgi=ΣxiFgi.
