Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
PODSTAWYTEORIIAPROKSYMACJIWZADANIACH
Jeżeli(
Xj(·j·⟩
)jestprzestrzeniąunitarną,towektory
xjy∈X
nazywamy
prostopadłymi,gdyzachodzirówność(xjy⟩=0.
Wypukłość
Jeżeli
X
jestprzestrzeniąwektorowąnadciałem
K
,tozbiór
V⊆X
nazy-
wamywypukłym,gdydladowolnych
ajb∈V
orazdowolnejliczbyrzeczywistej
t∈
[0
j
1]spełnionyjestwarunek
ta
+(1
−t
)
b∈V
.Innymisłowy,odcinek
okońcach
a
i
b
jestwcałościzawartyw
V
.Przez
convV
oznaczamynaj-
mniejszyzbiórwypukłyzawierający
V
inazywamyotoczkąwypukłązbioruV.
Klasycznymfaktemznanymzalgebryliniowejjestmożliwośćprzedstawienia
otoczkiwypukłejjakozbiorukombinacjiwypukłych,czyli
convV
={t1u1+▷▷▷+tnun:n∈Nju1j▷▷▷jun∈Vjt1j▷▷▷jtn∈[0j1]jt1+▷▷▷+tn=1}▷
Punkt
x∈V
nazywamypunktemekstremalnymzbioru
V
,gdynieistnieją
punktyyjz∈Vtakie,żey̸=zorazx=ty+(1−t)zdlapewnegot∈(0j1).
Klasyczneprzestrzenie
Podstawowymproblememteoriiaproksymacjijestprzybliżaniepewnych
elementówbardziejspecyficznymi,awszczególnościprzybliżanieogólnych
funkcjiwielomianami.Przestrzeńwielomianówodgrywawtymzbiorzezadań
istotnąrolę.Jeżeli
n∈No
,toprzez
Pn
(
K
)oznaczamyprzestrzeńwielomianów
stopniaconajwyżej
n
owspółczynnikachwciele
K
,gdzie
K
=
R
lub
K
=
C
.
Jesttooczywiścieprzestrzeńliniowanadciałem
K
.Będziemypisaćskrótowo
Pn
,jeżeliciałojestdowolne.Wprzypadkuprzestrzeniwielomianówdowolnego
stopniabędziemypomijaćindeksipisaćP(K)(lubpoprostuP).
Wprowadzimyterazszeregklasycznychprzestrzeniunormowanych,doktó-
rychbędziemywielokrotnieodwoływaćsięwzadaniach.Dla1
<p<∞
definiujemyprzestrzeńunormowaną(
ℓpj"·"p
)jakoprzestrzeńciągów(
xk
)
∞
kl1
owyrazachwcieleK,którespełniająwarunek
kl1
Σ
∞
|xk|
p<∞▷
Strukturaprzestrzeniwektorowejjestwprowadzonawsposóbnaturalny,czyli
dodawaniewektorówimnożenieprzezskalarodbywasiępowspółrzędnych.
Normawtejprzestrzenijestzdefiniowanadlax=(xk)∞
kl1jako
"x"p=(
kl1
Σ
∞
|xk|
p)
p▷
1
Powyższadefinicjarozszerzasięrównieżwnaturalnysposóbnaprzypadek
p
=
∞
.Wtymprzypadku,
ℓ∞
jestprzestrzeniąciągów
x
=(
xk
)
∞
kl1
,które
spełniająwarunek
supk>1|xk|<∞
,anormadanajestjako
"x"∞
=
supk>1|xk|▷
