Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.INFORMACJEPODSTAWOWE
Możnawykazać,żewszystkieprzestrzenie
ℓp
(dla1
<p<∞
)sąprzestrzeniami
Banacha.
Naszczególnąuwagęzasługujeprzypadek
p
=2,czyliprzestrzeń
ℓ2
.Jestto
przestrzeńHilbertaziloczynemskalarnymdanymdla
x
=(
xk
)
∞
kl1
i
y
=(
yk
)
∞
kl1
jako
(xjy⟩=
kl1
Σ
∞
xkyk▷
Możnaudowodnić,żejeżeli
p̸
=2,toprzestrzeń
ℓp
niejestprzestrzeniąunitarną.
Normy
ℓp
możnarozważaćrównieżwniektórychinnychprzestrzeniach
ciągowych.Dlaprzykładu,możnajerozpatrywaćwskończeniewymiarowej
przestrzeni
Kn
dladowolnego
n∈N
(wówczasmamyoczywiściedoczynienia
zeskończonymisumami).Taką
n
-wymiarowąprzestrzeńznormą
ℓp
będziemy
oznaczaćjako
ℓn
p
.Normę
ℓ2
wprzestrzeni
n
-wymiarowejnazywamynormą
euklidesową.JesttoprzestrzeńHilberta,aindukowanąprzezniąmetrykajest
tą,którajestnajbardziejintuicyjnadlaprzestrzeni
n
-wymiarowej.Wkażdej
sytuacji,wktórejbędziemymówilionormie
ℓp
,alemającinnąprzestrzeń
bazowąniżtastandardowa,będziemymielinamyślinormęzdefiniowanąjak
powyżej.
Opróczpowyżejzdefiniowanychprzestrzeni
ℓp
,doklasycznychprzestrzeni
ciągowychnależąrównieżprzestrzeniec,coicoo.Elementamiprzestrzenicsą
ciągizbieżne,czylitakieciągi(
xk
)
∞
kl1
,żeistniejeskończonagranica
limk→∞xk
.
Elementamiprzestrzeni
co
sąciągizbieżnedo0,czylitakieciągi(
xk
)
∞
kl1
,że
limk→∞xk
=0.Elementamiprzestrzeni
coo
sąciągi,któreodpewnegomiejsca
sąstalerówne0,czyliciągi(
xk
)
∞
kl1
,dlaktórychistnieje
N∈N
takie,że
xk
=0
dla
k>N
.Wprzestrzeniach
c
,
co
i
coo
rozważasięstandardowonormę
ℓ∞
,
czylisupremumzmodułuwspółrzędnych.Wprostzdefinicjijasnejest,że
zachodząinkluzje
coo⊆co⊆c⊆ℓ∞
.Możnaudowodnić,żeprzestrzenie
co
i
c
sąprzestrzeniamiBanacha,aprzestrzeńcooniąniejest.
Kolejnąklasąprzestrzeniunormowanych,któraodgrywabardzoistotną
rolęwteoriiaproksymacji,sąprzestrzeniefunkcyjne.Przestrzenieciągowe
ℓp
mająswojeszerokieuogólnieniewtejklasie.Niechbowiem(Ω
j
Σ
jµ
)będzie
przestrzeniązmiarą.Dla1
<p<∞
definiujemyprzestrzeńBanacha
Lp
(Ω
j
Σ
jµ
)
(oznaczanąteżwskrócie
Lp
(Ω
jµ
),jeżeliniemapotrzebywyróżniania
σ
-algebry)
jakoprzestrzeńzłożonązklasabstrakcjifunkcjimierzalnych
f
:Ω
→K
,które
spełniająwarunek
/
Ω
|f(t)|pdµ(t)<∞j
przyczymdwiefunkcje
fjg
uznajemyzarównoważne,jeżelirówność
f
(
t
)=
g
(
t
)
zachodzidlaprawiewszystkich
t∈
Ω.Beztrudumożnasprawdzić,żejestto
przestrzeńwektorowazdziałaniemdodawaniafunkcjiimnożeniaprzezskalar
zdefiniowanychwnaturalnysposób.Normawtejprzestrzenizdefiniowanajest
15
