Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.9.Pochodnakierunkowaigradientpolaskalarnego
x
1z
O
1x
z
V(P′)=
=V(P)+∆V(P)
1y
r(s+∆s)
P′
∆r(s)
∆s
r(s)
dr
d
s
P
=
1
V(P)
s
G
y
Rys.1.20.Określeniepochodnejkierunkowej
funkcjiskalarnejV(P)
RóżniczkazupełnafunkcjiskalarnejV(P)=V(x,y,z)wynosi
d
V
(
P
)
=
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
z
∂
x
∂
y
∂
z
astądpochodnakierunkowa
d
V
(
P
)
=
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
x
+
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
y
+
∂
V
(
x
,
y
,
z
)
d
z
d
s
∂
x
d
s
∂
y
d
s
∂
z
d
s
(1.69)
(1.70)
1.9.2.
Gradient
Działającoperatoremnablanafunkcjęskalarną,otrzymujemyfunkcjęwektorową
nazywanągradientemfunkcjiskalarnej
grad
V
=
∇
V
=
1
x
∂
∂
V
x
+
1
y
∂
∂
V
y
+
1
z
∂
∂
V
z
(1.71)
Dokonującwpowyższejzależnościobustronnegomnożeniaskalarnegoprzezwek-
tor1siuwzględniajączależności(1.61),dostajemypoprawejstroniewyrażenie
równeprawejstroniewzoru(1.70),astąd
d
V
d
(
s
P
)
=
1⋅
sgrad
V
(
P
)
(1.72)
tzn.pochodnakierunkowadV/dsjestrzutemgradV(P)nakierunek1s(rys.1.21)
grad
s
V
(
P
)
=
d
V
d
(
s
P
)
(1.73)
gradV(P)
P
1s
α
gradsV(P)
Rys.1.21.Gradientfunkcjiskalarnejijegorzutnakierunek1s
39
