Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.9.Pochodnakierunkowaigradientpolaskalarnego
WektorgradV(P)mazatemzwrotzgodnyzezwrotemwektorads,tzn.jest
zwróconywstronęnajwiększegowzrostuwartościfunkcjiVwpunkcieP.Wobec
tegowektor–gradV(P)jestzwróconywstronęnajwiększegospadkuwartościtej
funkcjiwpunkcieP.
Formułyzwiązanezgradientem
Gradient:
•stałejC
•sumyskalarówUiV
•iloczynuskalarówUiV
•funkcjizłożonejV(U)
•iloczynustałejkiskalaraV
•iloczynuskalarnego
2A·B
∇
C
=
0
(1.78a)
∇
(
U
+)
V
=
∇
U
+
∇
V
(1.78b)
∇
(
UV
)
=
V
∇
U
+
U
∇
V
(1.78c)
∇
V
(
U
)
=
∂
∂
U
V
∇
U
(1.78d)
∇
(
kV
)
=
k
∇
V
(1.78e)
∇
(
A
⋅
B
)
=
(
A
⋅
∇
)
B
+
(
B
⋅
∇
)
A
+
A
×
(
∇
×
B
)
+
B
×
(
∇
×
A
)
•wewspółrzędnychwalcowych
∇
V
=
1
r
∂
∂
V
r
+
1
θ
1
r
∂
∂
V
θ
+
1
z
∂
∂
V
z
•wewspółrzędnychsferycznych
∇
V
=
1
r
∂
∂
V
r
+
1
θ
1
r
∂
∂
V
θ
+
1
φ
r
sin
1
θ
∂
∂
V
φ
(1.78f)
(1.78g)
(1.78h)
Całkaliniowazgradientufunkcjiskalarnej
Całkującwzór(1.75)popewnejkrzywejłączącejpunktyAiB,otrzymujemy
B
V
(
B
)
∫
grad
V
⋅
d
s
=
∫
d
V
(
P
)
=
V
(
B
)
−
V
(
A
)
A
V
(
A
)
(1.79)
cooznacza,żecałkataniezależyodkształtudrogiłączącejpunktyAiB,atylko
odsamychpunktówAiB.
Przykład1.9.Wyznaczgradientfunkcji:a)V=4
2–x2–y2,b)U=x2+2xy2.
Rozwiązanie.Stosującwzór(1.71),otrzymujemyodpowiednio(rys.1.23)
a)
b)
A
=∇
V
=
1
x
∂
∂
V
x
+
1
y
∂
∂
V
y
+
1
z
∂
∂
V
z
=
1
x
(
−
2
x
)
+
1
y
(
−
2
y
)
+
1
z
0
B
=∇
U
=
1
x
∂
∂
U
x
+
1
y
∂
∂
U
y
+
1
z
∂
∂
U
z
=
1
x
(
2
x
+
2
y
2
)
+
1
y
(
4
xy
)
+
1
z
0
2∇×Ajestrotacją,którejokreślenieznajdujesięwpodrozdziale1.11(s.49).
41
