Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Rachunekianalizawektorowa
Zewzoru(1.72)wynika,żewektorgradV(P)niezależyodukładuwspółrzędnych,
gdyżpochodnakierunkowadV/dsokreślonajestniezależnieodukładuwspółrzęd-
nych.Ztegowzoruwynikarównież,żepochodnadV/dsosiągaswojąnajwiększą
wartośćrówną|gradV(P)|dlakierunku1szgodnegozwektoremgradV(P),gdyż
wtedykątαmiedzytymiwektoramijestrównyzeruicosα=1.Jeślizaśkierunek
1sjestprostopadłydowektoragradV(P),topochodnadV/dsrównajestzeru,
bowiemwtedyα=π/2icosα=0.Zpowyższegowynikarównież,żegradV(P)ma
kierunek,wktórympochodnakierunkowadV/dsjestnajwiększaspośródpochod-
nychkierunkowychfunkcjiwdanympunkciePwewszystkichmożliwychkierun-
kach.
Przedstawiającwektorelementarnydsjako
d
s
=
1
x
d
x
+
1
y
d
y
+
1
z
d
z
=
1
s
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
=
1
s
d
s
różniczkęfunkcjiskalarnejmożnawyrazićwzorem
d
V
(
P
)
=
∂
V
d
x
+
∂
V
d
y
+
∂
V
d
z
=
grad
V
⋅
d
s
∂
x
∂
y
∂
z
(1.74)
(1.75)
Zbiórpunktów,wktórychfunkcjaskalarnamastałąwartość,tzn.V(P)=const,
tworzypowierzchnię(linię)ekwiskalarną.Wogólnymprzypadkuwektorelemen-
tarnykierunkudsmożemiećdowolnąorientacjęwzględemtakiejpowierzchni,
awszczególności–możebyćdoniejstycznylubprostopadły(rys.1.22).
a)
V(P′)=V(P)
P′
V(P)=const
ds
P
gradV(P)
b)
P′
gradV(P)
ds
P
V(P′)=V(P)+dV>V(P)
V(P)=const
Rys.1.22.Szczególneprzypadkiorientacjiwektorakierunkudswzględempowierzchniekwiskalar-
nej:a)wektordsstycznydopowierzchniekwiskalarnej,b)wektordsprostopadłydoniej
Jeśliwektordsjeststycznydopowierzchniekwiskalarnej,toprzyprzejściu
zpunktuPdopunktuP′przyrostfunkcjiskalarnejdV(P)=0,astądprzez
zależność(1.75)otrzymujemywtakimprzypadku
grad
V
⋅s
d=
0
(1.76)
WobectegowektorgradV(P)musibyćprostopadłydopowierzchniekwiskalarnej
przechodzącejprzezpunktP.Niechterazwektordsbędzieprostopadłydo
powierzchniekwiskalarnejiniechbędziezwróconywstronęwzrostuwartości
funkcjiV(P),tzn.dV(P)>0.Wtakimrazie
grad
V
⋅
d
s
=
d
V
(
P
)
>
0
40
(1.77)
