Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Rachunekianalizawektorowa
h(x–x0)
x0
ε
1
ε
x
Rys.1.19.DeltęDiracamożnaotrzymaćjakograniczny
przypadekfunkcjih(x–x0)przyε→0
DeltaDiracasymbolizujedziałanieskupioneteoretyczniewjednympunkcie,
awpraktyce–wniewielkimjegootoczeniu.Bardzoważnajestnastępująca
własnośćdeltyDiraca,zwanawłasnościąfiltrującą:
+∞
−
∫
∞
f
(
x
)
δ
(
x
−
x
0
)
d
x
=
f
(
x
0
)
tzn.powyższacałka„wybiera”zfunkcjif(x)wartośćwpunkciex0.
WprzypadkutrójwymiarowymokreśleniedeltyDiracaprzybierapostać
δ
(
r
−
r
0
)
=
[
{
[
∞
0
dla
dla
r
r
=
≠
r
r
0
0
∫∫∫
υ
δ
(
r
−
r
0
)
d
υ
=
1
(1.65)
(1.66)
gdzieυjestobszaremzawierającymwswoimwnętrzupunktowektorzewodzą-
cymr0,awłasnośćfiltrującązapisujemyjako
∫∫∫
υ
f
(
r
)
δ
(
r
−
r
0
)
d
υ
=
f
(
r
0
)
(1.67)
1.9.Pochodnakierunkowaigradientpolaskalarnego
1.9.1.
Pochodnakierunkowa
PoleskalarneopisanejestfunkcjąV(P).Abyzbadaćtopole,należyprzede
wszystkimzbadaćzachowaniesięfunkcjiV(P)przyprzejściuodjednegopunktuP
przestrzenidoinnegoP′,aściślej–zbadaćszybkośćzmianwartościtegopola
wzadanymkierunku.Szybkośćtychzmianjestnaogółróżnadlaróżnych
kierunkówiokreślamyjązapomocąpochodnejkierunkowej.
PochodnąkierunkowąfunkcjiskalarnejV(P)wpunkciePwkierunku1s
określamywzorem(rys.1.20)
d
V
(
P
)
=
lim
V
(
P
′
)
−
V
(
P
)
=
lim
∆V
(
P
)
d
s
P
→
P
′
∆s
P
→
P
′
∆s
(1.68)
PochodnataokreślaszybkośćzmianfunkcjiV(P)wdanympunkciewzdłuż
zadanegokierunku,zatemjestonafunkcjąnietylkopunktu,aleikierunku.
38
