Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
2050Rachunekfunkcyjnydlamacierzy
17
Rachunekfunkcyjnydlamacierzytokrgzagadnieńzwizanychzdefiniowaniem,badaniem
własnociiwyznaczaniemfunkcjif(A)oargumenciemacierzowymA∈L(Cn)dlazadanej
skalarnejfunkcjif:C∋zl−ąf(z)∈C.
FunkcjęnazywamypoprawnieokreślonąnawidmiemacierzyA,jeliwkadejwartoci
własnej
λ
macierzyAposiadapochodnedorzęduojedenmniejszegoodwymiarunajwiększej
klatkiJordana,odpowiadajcej
λ
.Dlategotypufunkcjimonazpomocwielomianuinterpo-
lacyjnegoHermite’adefiniowaćfunkcjęf(A)[48,Theorem5.3.1].
Wszczególnocifunkcjamitakimisfunkcjeholomorficzne(analityczne)wotoczeniu
widmamacierzy.Rachunekfunkcyjnydlafunkcjiholomorficznychcharakteryzujenastępujce
twierdzenie[48,Theorem5.6.3].
TWIERDZENIE2.4.Jeelif:C∋zl−ąf(z)∈CmaszeregTaylora
f(z)1
i10
∑
ż
α
i(z−z0)
i
(2.15)
zbienywkole|z−z0|<Rijeeliwidmo
σ
(Z)macierzyZ∈L(Cn)leywtymkole,toszereg
macierzowy
i10
∑
ż
α
i(Z−z0I)
i,
(2.16)
jestwtymkolezbieny,ajegosumęf(Z)nazywamywartocifunkcjifoargumenciemacie-
rzowymZ.Więcej,jelichoćbyjednawartoćwłasnamacierzyZleypozakołem|z−z0|<R,
toszereg(2.16)jestrozbieny.
FunkcjeeZ,sinZ,cosZ,sinhZ,coshZ,cosZ1/2,coshZ1/2,Z−1/2sinZ1/2,Z−1/2sinhZ1/2
spoprawnieokrelonymifunkcjamioargumenciemacierzowymdladowolnychmacierzyZ5.
ż
Szereggeometryczny
∑
zijestzbienywkole|z|<1dofunkcjif(z)1(1−z)−1,azatem
i10
ż
macierzowyszereggeometryczny
∑
Zijestzbienydofunkcjif(Z)1(I−Z)−1dlamacierzy,
i10
którychwidmoleywkolejednostkowym.Funkcjaf(z)1lnzjestholomorficznawkole
|z−1|<1,więcdlamacierzyZ,którychwidmoleywtymkole,istniejelnZ.
TWIERDZENIE2.5.Niechf:C∋zl−ąf(z)∈C.Wtedy:
(i)JeelifjestpoprawnieokrelonanawidmieA,aSjestmacierzpodobieństwamacierzyA
domacierzyB,tzn.B1SAS−1,tofjestpoprawnieokrelonanawidmieB,równymwidmu
Aoraz
f(B)1Sf(A)S−1.
(2.17)
(ii)JeelifjestpoprawnieokrelonanawidmieB–sumyprostej
B1
®
j11
k
Aj:1
∫
|
|
l
A1
A2
...
Ak
1
|
|
J
5Przykłademzagadnieniaprowadzcegodotegotypufunkcjijestproblempocztkowydlawektorowegooscy-
latora¨
x(t)1−Ax(t),x(0)1x0,˙
x(0)1˙
x0;detA/10;rozwizaniemjestx(t)1[cosA1/2t]x0+A−1/2[sinA1/2t]˙
x0.