Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
19
Twierdzenie2.5umoliwiawyznaczeniefunkcjioargumenciemacierzowymAdlazadanej
macierzyA,oiletylkoistniejef(A).JeelibowiemS1T−1,gdzieTjestmacierzmodaln
odpowiadajcmacierzyA,tomacierzB1S−1ASjestjordanowskpostacikanonicznA
iz(2.17)wynika,ef(A)1Sf(B)S−1.Zkoleif(B)dajesięwyznaczyćnapodstawiezale-
noci(2.18)i(2.19).Istotnie,zjednejstronyBjestsumprostmacierzydiagonalnychiklatek
jordanowskich,azdrugiejstronyfunkcjęmacierzowoargumenciebędcymklatkJordana
łatwowyznaczyć,stosujcwzór(2.19).
Przedstawimyterazinnysposóbwyliczaniafunkcjioargumenciemacierzowym.Niewy-
magaonkonstrukcjimacierzymodalnejiopierasięnatzw.rozkładziespektralnym.
DEFINICJA2.2.WielomianpnazywamywielomianemanulującymmacierzyA∈L(Cn),jeeli
p(A)10.NajniszystopniemwielomiananulujcymacierzyAnazywanyjestwielomianem
minimalnymmacierzyA.
LEMAT2.3.WielomianminimalnyAjestrównywielomianowi
NWD[adj(
det(
λ
I−A)
λ
I−A)]
,
gdzieNWD[adj(
λ
I−A)]oznaczanajwiększywspólnydzielnikwszystkichelementówmacie-
rzyadj(
λ
I−A).
TWIERDZENIE2.6.Niech{(
λ
−
λ
(i))ki}i11,2,...,sbędziezbioremdzielnikówelementarnychA
tworzcychjejwielomianminimalny,a
λ
(i)jestwartociwłasnmacierzyA,przyczymna-
wiasyoznaczaj,etawartoćwłasnamoebyćwielokrotna.Niechfbędziefunkcjpopraw-
nieokrelonnawidmiemacierzyA.Wtedyistniej,niezaleneodf,macierzeZij∈L(Cn)
zwaneskładowymimacierzyA,takie,e
f(A)1
i11
∑
s
j11
∑
ki
f(j−1)(
λ
(i))Zij.
(2.20)
SkładowesmacierzamiprzemiennymizA,awektoryvec(Zij)∈Cn
2
sliniowoniezalene6.
WzorynaskładoweZijswogólnymprzypadkuznacznieskomplikowaneidlategowprak-
tyceliczysięjenastępujco:wmiejscef(
λ
)w(2.20)podstawiasiękolejnoodpowiedniodo-
brane,liniowoniezalenewielomiany,takabyuzyskaćnieosobliwyukładrównańliniowych
oniewiadomychZij.ZukładutegowyliczasięskładoweA.
PRZYKŁAD2.4.Wyznaczyćwartoćfunkcjiholomorficznejf(A),dlamacierzyAzprzykładu
A1
∫
|
|
l
20
01
00
02−12
00
10
10
1
|
|
J
.
Wielomiancharakterystyczny
det(
λ
I−A)1(
λ
−2)2(
λ
−1)2
6Symbolvec(Z)oznaczawektorutworzonyzmacierzyZ,któregokolejnegrupyskładowychstranspono-
wanymiwierszamimacierzyZ.