Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Pojęciapodstawowe
Zagadnieniepostaci(1.23)jestprzykłademzagadnieniabrzegowego.Nazwa
tabierzesięstąd,żestarającsięznaleźr
crozwiązanie,podajemyjegowartor
sr
cna
dwóchkor
ncachprzedziału,naktórymposzukujemyrozwiązania.Oczywir
sciepo-
stawieniezagadnieniabrzegowegonieograniczasiędorównar
ndrugiegorzędu
(chor
cdlatychrównar
njesttobardzonaturalnyrodzajwarunku).Możnatentyp
warunkuformułowar
cdlarównar
ndowolnegorzędu.Poniżejsformułujemygodla
układówpierwszegorzędu.
DEFINICJA1.6.Niechbędziedanerównanie
x1f(t,x)
˙
(1.24)
zfunkcjąf:[I,b]×Rm→Rm.Zagadnieniebrzegowedlarównania(1.24)
naprzedziale[I,b]mapostar
c
q(x(I),x(b))10,
gdzieqjestdanąfunkcjąowartor
sciachwRm.
(1.25)
Jer
sliqjestfunkcjąliniową,któraniezależyodx(b),towarunek(1.25)sprowa-
dzasiędowarunkupoczątkowego.Możnawięcuważar
cwarunek(1.25)zaogólną
postar
cwarunkugranicznegodlarównania(1.24).Zauważmynakoniec,żezagad-
nieniebrzegowejestnaogółtrudniejszedorozwiązanianiżzagadnieniepoczątko-
we.Abyjerozwiązar
c,trzebabowiemwiedzier
cwczer
sniej,żerównanie(1.24)ma
rozwiązanienacałymprzedziale[I,b],coniezawszemusibyr
cprawdą.
Wracającdonaszegointuicyjnegosposobuwyznaczeniakrzywychcałkowych,
możemyzauważyr
c,żejesttorównieżpewiensposóbnumerycznegowyznaczenia
tychkrzywych.Odpowiedniwzórnawyznaczeniex1przyjmujeformę
x1−xo1/
to
t1
f(to,xo)dt1(t1−to)f(to,xo).
Jer
sliprzyjmiemy,żeposzczególnechwilesąjednakowoodległe,tzn.
to,t11to+∆t,t21t1+∆t1to+2∆t,...,ti1to+ź∆t,
tootrzymamyrównanieróżnicowe
xi+11xi+f(ti,xi)∆t,
któremożnabeztrudnor
scirozwiązar
cnakomputerze.
(1.26)
(1.27)
