Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
2.Schematyróżnicowe
MożemyjednakwewzorzeTayloraodwrócir
croletit+h.Wtedyotrzymamy
następującąpostar
crozwinięcia
x(t)1x(t+h)−hx(1)(t+h)+
h2
2
x(2)(t+h)+···1
1x(t+h)−hf(t+h,x(t+h))+O(h
2).
Rozwinięcie(2.4)prowadzidoschematuróżnicowego
xk+11xk+hfk+1,
(2.4)
(2.5)
nazywanegozamkniętymschematemEulera.
Przeanalizujmyterazróżnicemiędzypraktycznymirealizacjamiobliczer
nopar-
tychnawzorach(2.3)i(2.5).Wprzypadkuschematu(2.3)obliczeniexk+1polega
wkolejnychkrokach(dlakolejnychwartor
scik)nawstawianiudowzoru(2.3)
wartor
sciobliczonychwpoprzednimkroku.Schematyotejwłasnor
scinazywasię
schematamiotwartymilubjawnymi.Tymczasemwewzorze(2.5)znalezieniewar-
tor
scixk+1wymagarozwiązaniarównania(naogółnieliniowego),ponieważxk+1
występujerównieżpoprawejstroniewzoru(fk+11f(tk+1,xk+1)).Schematyta-
kienazywasięschematamizamkniętymilubniejawnymi.Ponieważpodstawienie
wartor
scidowzoru(2.3)jesttar
nsze(zpunktuwidzeniaczasupracykomputera)
niżrozwiązanienieliniowegorównania(2.5),powstajepytanie,czywogólewar-
tostosowar
cschematyzamknięte.Okazujesię,żemająonepewneistotnecechy,
którepowodują,żestawiasięjeczęstoponadschematamiotwartymi.Wszcze-
gólnor
scibywająproblemy,wktórychschematyotwartesązupełniebezużyteczne,
aschematyzamkniętedająpoprawnerezultaty.
Schematydanewzorami(2.3)i(2.5)sąprzykładamiszerokiejklasyschema-
tówjednokrokowych.
DEFINICJA2.1.Schematpostaci
xi+11xi+hof(h,ti,xi,xi+1),
ź10,1,...,N−1,
(2.6)
gdzieofjestpewnąfunkcjązależnąodf(wogólnor
scimożetobyr
czależnor
sr
c
nieliniowa),nazywasięschematemjednokrokowym.
Schematyjednokrokowemająpewnąpożytecznąwłasnor
sr
c,jer
slisąużywanedo
rozwiązywaniazagadnier
npoczątkowych.Jakłatwozauważyr
c,warunekpoczątko-
wyx(to)1xodostarczatakiemuschematowidanychniezbędnychdozainicjowa-
niaobliczer
n.Oschematachjednokrokowychmówimywięc,żesąsamostartujące.
SchematyEulera(2.3)i(2.5)sąprzykładamiliniowychschematówjednokro-
kowych.Sąonejednakmałodokładne,ponieważdoichkonstrukcjiużylir
smywzo-
ruTaylorazdokładnor
sciądowyrazówpierwszegorzędu.Oczywir
scienicniestoi
