Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Schematyjednokrokowe
33
naprzeszkodzie,abywewzorze(2.2)odrzucir
cdopierowyrazyrzęduh3.Otrzy-
mamywtedy
x(t+h)1x(t)+hf(t,x(t))+
h2
2
x(2)(t)+O(h3).
Wyrazx(2)(t)obliczymyzrównania(2.1)
(2.7)
x(2)(t)1
dt
d
f(t,x(t))1ft(t,x(t))+fx(t,x(t))f(t,x(t)),
(2.8)
gdzieft,fxoznaczająodpowiedniopochodnecząstkowewzględempierwszego
idrugiegoargumentufunkcjif.
Łączącwzory(2.7)i(2.8),otrzymamyudoskonalenieschematuEulera,zwane
schematemTaylora
h2
h2
xk+11xk+hfk+
2
ft,k+
2
fx,kfk,
(2.9)
gdzieft,k,fx,koznaczająodpowiedniowartor
scipochodnychftorazfxwpunkcie
(tk,xk).
PRZYKŁAD2.1.RozwiążemywMaple3uzagadnieniepoczątkowe
x1t+2x,
˙
x(1)11.
Rozwiązanie.Korzystamyzmożliwor
scidokładnegorozwiązaniarów-
naniajakieposiadaMapleiotrzymujemy
>f:=(t,x)->t+2*x;
f:1(t,x)→t+2x
>de:=diff(x(t),t)=f(t,x(t));
de:1(
dt
d
x(t))1t+2x(t)
>g:=dsolve({de,x(1)=1},x(t));
g:1x(t)1−
1
2
t−
1
4
+
7
4
e2t
e2
UWAGA.Czytelnikpowinienzwrócir
cuwagęnakonwencję,którazostałaprzyjęta
wksiążcedoprezentacjidziałaniasystemuMaple.Teksty,któreużytkownikwpisujezkla-
wiaturysąskładanepismemmaszynowym.OdpowiedziMaple3asąskładanekursywą
wtakiejformie,wjakiejpojawiająsięnaekraniekomputera.Abymożnajebyłołatwiej
odróżnir
codinnychwzorówmatematycznych,wszystkiezaczynająsięokołopółcenty-
metraodlewegomarginesu(innewzorymatematycznesąwyr
srodkowanewwierszach).
Rozwiążemytorównanienaprzedziale[1,5],korzystajączeschematuotwar-
tegoEulera(2.3),anastępniezeschematuTaylora(2.9).
RozpocznijmyodnapisaniaproceduryrealizującejschematEulera.
