Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WładysławBukietyński
OperatorEutożsamiaalgebręC(T)zalgebrąP;jesttonaturalnieizomorfizm
zachowującynormę.Ponieważa
n∈Poraz
lim
∞
a
n
=0,więcEa
n∈C
0(T),gdzie
C0(T)jestpodalgebrą–algebryC(T)–funkcjiprzyjmującychwpunkcieu=–1
wartość0.Ciąg(Ea
n)jestorbitąpunktuEa
0względempółgrupyoperatorów
różniczkowych(D
n).Jeżelig∈C
0(T)ig=Ef,gdzief∈C
(∞)(R)orazf,f!∈P
i
lim
f
=
lim
f
!
=
0
,toE(f!)nazywamypochodnąfunkcjigioznaczamysym-
bolemDg.JestwięcDEf=EDf.WynikastądrównośćEa
∞
∞
n=D
nEa
0,n∈N.
Funkcjeokresowepn=Eanleżącenaorbiciepunktup
0
sąanalogami,
wprzestrzeniL2(T),falekróżniczkowychdoktoraDniestrzańskiego.
Funkcjag∈C(T)iliczbacałkowitakdefiniująfunkcję
gk(u)=g(exp(ik
ϕ
)),
gdzieu=exp(ik
ϕ
),k∈Z,0≤
ϕ
≤2
π
.Sątoinnegogatunkufalkitworząceorbi-
tęfunkcjigwzględemgrupyliczbcałkowitychZ.Funkcjag
kpowstajezgprzez
k-krotnepowieleniewykresu;naturalniewykrestenulegawłaściwejdeformacji.
Możnajeszczetworzyćfalkiwwęższymsensie,wykorzystującgrupękołaT.
Tymrazemfunkcjęgobracasięokątu∈T;sątotransformacjeg
ufunkcji
gokreślonewzorem
gu(v)=g(uv),gdzieu,v∈T.
ZarysowanotuteoriętrzechgatunkówfalekwprzestrzeniL
2(T);sątofalki
różniczkowe–rządzinimipółgrupaliczbnaturalnychN,falkimultiplikatywne
zpowielonymiwykresamipodporządkowanegrupieZifalkitranslacyjnealbo
rotacyjne,zwykresemprzesuniętym,nagrupieT.Sąjeszczefalkipotęgowe
(h
n),gdziehjestodpowiedniodobranąfunkcją.Podstawądefinicjifalkijest
działaniegrupynazbióripojęcieorbity.Związanetojestzwyborem
specyficznejbazyprzestrzenigenerowanejprzezgrupęzjednejfunkcji.
PraktyczniewystarczyograniczyćsiędoprzestrzeniHilberta,wktórejbaza
zawszeistniejeitobazaortonormalna.Aparatjestjużgotowy–teoriaszeregów
ortogonalnych.Falkiwnosząinterpretacjędotejformalnejnauki.Falkajest
użytecznainformacyjnie,gdyspośródelementówjejorbityutworzonabaza
objaśniazjawiskafizyczne.Falkajestnietylenamiastkąprawaprzyrody,co
samymprawem,azalidrugiegoczytrzeciegorzędu.Problememnaukowymjest
odczytanietegokodu.FalkiróżniczkoweDniestrzańskiegopowstałyzfunkcji
trygonometrycznychwnajprostszyzmożliwychsposobów.Funkcjetrygo-
nometrycznetworząniewątpliwienajważniejszą,jeśliniejedyną,klasęopisującą
przyrodę.Falki–takżeróżniczkowe–majązatemwielkąpotencję.
22
