Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1º2ºFisherowskadyskryminacjaliniowa
σźj=E[(x(ź)−Ex(ź))(x(j)−Ex(j))];
27
(ź,j)
-tymelementemmacierzykowariancjijestzatemkowariancjamiędzy
ź
-tąi
j
-tąwspółrzędnąwektoralosowego
x
.Wszczególności;naprze-
kątnejgłównejmacierzy
Σ
mamywariancjekolejnychwspółrzędnych
x(ź)
;
ź=1,2,...,p
.Jakłatwozauważyć;macierzkowariancjijestmacierząsyme-
tryczną.Możnaudowodnić;żejesttomacierznieujemnieokreślona(dodat-
niookreślona;jeślitylkorozkładwektora
x
niejestosobliwy;czyliniedajesię
przedstawićjakorozkładprawdopodobieństwawewłaściwejpodprzestrzeni
przestrzeni
Rl
).
Próbkowymodpowiednikiemwartościoczekiwanej
Ex
jestwektorowaśred-
niapróbkowa;otrzymananapodstawiepróby
x1,x2,...,xn:
x=
–
n
1
Σ
l11
n
xl,
gdzie
xl=[x(1)
l
,x
(2)
l
,...,x
(l)
l
]
T
,
l=1,...,n.
Próbkowymodpowiednikiempopulacyjnejmacierzykowariancji
Σ
jestprób-
kowamacierzkowariancji
S
ołatwejdoprzewidzeniapostaci.
S=
n−1
1
Σ
l11
n
(xl−–
x)(xl−–
x)T=(sźj)
l
ź,j11
,
sźj=
n−1
1
Σ
l11
n
(x
(ź)
l
−–
x(ź))(x(j)
l
−–
x(j)).
(1.1)
Wektorowaśredniapróbkowa
Ex
jest(wektorowym)wskaźnikiempołożenia
próby
x1,x2,...,xn
;natomiastrolę(macierzowego)wskaźnikarozproszenia
próbyodgrywamacierz
S
.
Wracającjeszczedowektoralosowego
x
o(populacyjnej)macierzykowa-
riancji
Σ
;wdalszymciąguprzydasięnamwartośćwariancjirzututego
wektoranaprostąowektorzekierunkowym
a
(wariancjatabędzienasinte-
resowaćjakoparametropisującyrozproszeniealboŹjakbędziemyteżmówili
Źzmiennośćwspomnianegorzutu).Pytamyzatemowariancjęzmiennejlo-
sowej
aTx
.Otrzymujemybeztrudu;że
Var(aTx)=E(aTx−E(aTx))2=E[aT(x−Ex)(x−Ex)Ta]=
=aTCov(x)a=aTΣa.
(1.2)
