Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Ważnymiprzykładamitopologiisątezwiązanezezbioramiliniowouporządko-
wanymi.Przypomnijmy,żerelacja<nazbiorzeXjestporządkiemliniowym,
gdyjestantyzwrotna,tranzytywnaidladowolnychxjgEX,jeślix”=g,to
x<glubg<x.ZwiązanazniąrelacjaŚdanajestwzorem
xŚg≈∆x<glubx=g;
p.Dodatek.RelacjaxŚgjestzwrotna,tranzytywnaisłaboantysymetryczna.
Liniowośćrelacjiwtymprzypadkuoznacza,żedladowolnychxigzachodzi
xŚglubgŚx.Przedziałemotwartymwzbiorzeliniowouporządkowa-
nym(Xj<)nazywamyzbiórXikażdyspośródzbiorów
(Ωja)={xEX:x<a}j
(bjæ)={xEX:b<x}oraz
(ajb)={xEX:a<x<b}.
Pierwszedwaprzedziałynazywamynieograniczonymi,botakimisąwisto-
cie,gdywXniemaelementunajwiększegoinajmniejszego,naprzykładwR.
Trzeciprzedziałjestprzedziałemograniczonym.Rozważanesątakżeprze-
działypółotwarte(półdomknięte),któresąpostaci
(ajb]={xEX:a<xŚb}oraz[ajb)={xEX:aŚx<b}.
Rozważanesątakżeprzedziałydomknięte,któremająpostać
[ajb]={xEX:aŚxŚb}.
Niekiedy,szczególniewzagadnieniachgeometrycznych,przedziałydomknięte
nazywamyodcinkami.Zbiórwszystkichprzedziałówotwartychwzbiorze
liniowouporządkowanym(Xj<)oznaczamysymbolemIntv(Xj<).
Przyk≥ad1.1.4(topologiaporządkowa).Topologiąporządkowąwzbio-
rzeliniowouporządkowanym(Xj<)nazywamyrodzinę
T(Xj<)={U™X:(VxEU)(÷∆EIntv(Xj<))(xE∆™U)}.
RodzinaT(Xj<)składasięzatemztychpodzbiorówzbioruX,którewraz
zkażdympunktemzawierająpewienprzedziałotwarty.JeśliUjVET(Xj<)
orazxEUflV,toistnieją∆j∆ÕEIntv(Xj<)takie,żexE∆™Uoraz
xE∆Õ™V.WówczasxE∆fl∆Õ™UflVoraz∆fl∆ÕEIntv(Xj<),boilo-
czyndwóchprzedziałówotwartychjestprzedziałemotwartym.Stądwynika,
żejeśliUjVET(Xj<),toUflVET(Xj<).Pozostałedwawarunkizapi-
sanewdefinicjitopologiisąspełnionewsposóboczywisty.AzatemT(Xj<)
jesttopologiąwzbiorzeXuporządkowanymprzezrelację<.Zauważmy,że
przedziałydomkniętesązbioramidomkniętymiwtopologiiporządkowej.Fak-
tycznie,jeślixEX\[ajb],toxE(Ωja)™X\[ajb],gdyx<aoraz
xE(bjæ)™X\[ajb]jeślib<x.
˚
