Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Twierdzenie1.1.7.JeśliR™D(X)orazXER,to
T(R)=Ó€U:U™Ó‹A:A™Roraz0<|A|<ÊÔÔj
przyczymrodzinaRjestpodbaz!topologiiT(R)jarodzina
B(R)=Ó‹A:A™Roraz0<|A|<ÊÔ
jestjejbaz!.
Dowód.Zauważmy,żeR™B(R),bojeśliAER,toA=u{A}.Ponad-
toB(R)™T(R)orazT={tU:U™B(R)}™T(R),boT(R)jesttopologią
zawierającąR.PonieważR™T,aT(R)jestnajmniejszątopologiązawie-
rającąR,topozostajewykazać,żeTjesttopologią.OczywiścieXET,bo
XER.Wykażemy,żejeśliU1jU2ET,toU1flU2ET.ZdefinicjirodzinyT
wynika,żeistniejątakieU1jU2™B(R),dlaktórych
U1=€U1orazU2=€U2.
Zprawdystrybutywności(rozdzielczości)wynika,że
U1flU2=€U1fl€U2=€{UflW:UEU1orazWEU2}.
Abyudowodnić,żeU1flU2ET,wystarczywykazać,że
{UflW:UEU1orazWEU2}™B(R).
JeśliUEU1iWEU2,toistniejątakieA1j...jAnERiB1j...jBmER,że
U=A1fl···flAnorazW=B1fl···flBmj
awięc
UflW=A1fl···flAnflB1fl···flBmEB(R).
WobecdowolnościwyboruzbiorówUiWoznaczato,żeU1flU2ET.
Pozostajesprawdzić,żejeśliW™T,totWET.DlakażdegoWEW
WówczasU™B(R)oraztW=tUjcokończydowód.
⇤
Rozważmydwaważneprzykładywprowadzaniatopologiizapomocąro-
dzinygenerującej,którepojawiąsięjeszczewdalszejczęściksiążki.
Przyk≥ad1.1.8(topologiaSorgenfreya).Rozważmyrodzinę
R={[ajb)™R:ajbERia<b}fi{X}.
Nietrudnozauważyć,żeiloczyndwóchprzedziałówpółotwartychpostaci[ajb)
jestzbiorempustymlubprzedziałempółotwartym.Przyoznaczeniachztwier-
przezrodzinęRnazywamytopologiąSorgenfreya.Każdyzbiórotwarty
wtopologiinaturalnejprzestrzeniRjestotwartywtopologiiSorgenfreya,bo
ogółtegoniekomentujemy.Wtejczęścimatematyki,którejdotyczyksiążka,bezpewnika
wyboruwielutwierdzeńniemożnabyudowodnić.
