Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
17
awięcd(xjg)≥0.NazbiorzeXmogąistniećróżnemetryki.Wszczególności
mamymetrykędyskretną,któradanajestwzorem
d(xjg)=I1jjeślix”=gj
0jjeślix=g.
Metrykadyskretnanazywanajestteżmetrykązero-jedynkową.Jeślifunk-
cjadjestmetrykąnazbiorzeX,aY™X,tofunkcjadzacieśniona(obcięta)
dozbioruYjestmetrykąnazbiorzeY.Nazywamyjąmetrykązacieśnioną
lubobciętądozbioruY.WzbiorzeRliczbrzeczywistychokreślamymetry-
kęnaturalną,któradladowolnychxjgERdanajestwzorem
d(xjg)=|x≠g|.
InnymprzykłademjestmetrykaeuklidesowanapłaszczyźnieR2.
(1.7)
Przyk≥ad1.2.2(metrykaeuklidesowa).Odległośćmiędzypunktamina
płaszczyźnieR2mierzymydługościąodcinkałączącegotepunkty.Jeśliwięc
punktpER2mawspółrzędne(p1jp2),apunktqER2mawspółrzędne
(q1jq2),tozgodnieztwierdzeniemPitagorasaodległośćmiędzytymipunktami
wyrażasięwzorem
d(pjq)=Ò(p1≠q1)2+(p2≠q2)2.
Warunektrójkątajestspełniony,bowkażdymtrójkąciesumadługościdwóch
dowolnychbokówjestniemniejszaoddługościtrzeciegoboku.Równośćza-
chodzitylkowtedy,gdypunktyleżąnajednejprostej.Pozostałedwawarunki
określającemetrykęsąoczywiste.Kulamiotwartymiwsensietejmetrykisą
kołaotwarte(bezbrzegu,tzn.bezokręgu),boprzypowyższychoznaczeniach
mamy
Bd(pjT)={qER
2:d(pjq)<T}={qER2:(p1≠q1)2+(p2≠q2)2<T2}.
ZdefinicjimetrykieuklidesowejwR2wynika,żejejzacieśnieniedoprostejrze-
czywistej,czylizbiorutychpunktówpłaszczyzny,którychdrugawspółrzędna
jestrówna0,pokrywasięzmetrykąnaturalnąwR.
˚
Wprzestrzenieuklidesowejtrójwymiarowejmetrykędefiniujemyanalo-
siegeometrycznym.Więcejprzykładówpodamywnastępnymrozdziale.
Twierdzenie1.2.3.Jeśli(Xjd)jestprzestrzeni!metryczn!,to
T(Xjd)={U™X:(VxEU)(÷5>0)(Bd(xj5)™U)}
jesttopologi!naX,którejbaz!jestrodzina
Bd={Bd(xj5):xEXoraz5>0}
wszystkichkulotwartychwsensiemetrykid.
