Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
19
Dowód.JeślitopologiaprzestrzeniXjestwyznaczonaprzezmetrykę,to
dlakażdegoxEXrodzinakul{B(xj1
n):nEN}jestbaząlokalnąwtym
punkcie.Faktycznie,dlakażdegozbioruotwartegoU™XorazxEUistnieje
5>0takie,żeB(xj5)™U.Wystarczywięcdobraćntakie,że1
n<5.
⇤
Przyk≥ad1.2.7(przestrzeńniemetryzowalna).JeśliR>Ê,toprzestrzeń
jedynympunktemskupieniaprzestrzeniX.Przypuśćmy,że{Un:nEN}jest
rodzinąotoczeńpunktuxo.PonieważzbioryX\Unsąskończone,tozbiór
t{X\Un:nEN}jestprzeliczalny,askorozbiórXjestnieprzeliczalny,
toistniejezEu{Un:nEN}\{xo}.WówczaszbiórX\{z}jestotwarty
iniezawieraUndlażadnegonEN,codajesprzeczność.Azatemnamocy
˚
zapomocązadanegoukładuotoczeń.
Definicja1.2.8(układotoczeń).UkłademotoczeńnazbiorzeXna-
zywamytak!rodzinę{B(x):xEX},żeÿ”=B(x)™D(X)dlakażdegoxEX
ispełniones!następuj!cewarunki:
(a)xEUdlakażdegoUEB(x);
(b)jeśligEUEB(x),toistniejetakieVEB(g),żeV™U;
(c)jeśliUjVEB(x),toistniejetakieWEB(x),żeW™UflV.
Wszystkieomawianedotądtopologiemożnaopisaćzapomocąukładu
otoczeń,oczymmówinastępującetwierdzenie.
Twierdzenie1.2.9.Jeśli{B(x):xEX}jestukłademotoczeńnazbiorze
X,torodzina
T={U™X:(VxEU)(÷VEB(x))(V™U)}
jesttopologi!nazbiorzeX.Ponadtorodzina
B=€{B(x):xEX}
jestbaz!topologiiT,przyczymrodzinaB(x)jestbaz!otoczeńpunktuxEX.
Dowód.Oczywiście,XET,boB(x)”=ÿdlakażdegoxEXorazxEU
dlaUEB(x).JeśliU1jU2ETorazxEU1flU2,toistniejątakieV1jV2EB(x),
istniejetakieWEB(x),żeW™V1flV2.Tooznacza,żeW™U1flU2,awięc
16PodobniejakwksiążceHausdorfiaz1914r.,takżewinnychstarszychksiążkach
topologiczną,wygodniejjestwskazaćotoczeniapunktów.