Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Definicja1.2.30(granicaciągu).JeśliXjestprzestrzeni!topologiczn!,
tomówimy,żexoEXjestgranicąciągu(xn)Œ
næŒ
lim
xn=xoj
gdykażdeotoczeniepunktuxozawierawszystkiewyrazyci!gu(xn)Œ
n11zwy-
j!tkiemconajwyżejskończeniewielu,tzn.gdydlakażdegootoczeniaUpunktu
xoistniejetakienoEN,żexnEUdlakażdegon>no.
skończonaliczbaelementówciąguniemawpływunajegogranicę.
Lemat1.2.31.JeśliXjestprzestrzeni!Hausdorfia,togranica,oileist-
nieje,jestdokładniejedna.
Faktycznie,wprzestrzeniachHausdorIaróżnepunktymająotoczeniaroz-
łączne,awięcjestniemożliwe,abyobydwazawieraływszystkiewyrazyciągu
pozaskończeniewieloma.Ciągstałytotakiciąg(xn)Œ
n11,dlaktóregoistnie-
jexoEXotejwłasności,żexn=xodlakażdegonEN.Jeśliistniejetakie
kEN,żexn=xodlakażdegon≥k,totakiciąg(xn)Œ
n11nazywamyciągiem
prawiestałym.Każdyciągprawiestałyjestzbieżny,aponadtogranicate-
gociągujestrównaxo.Zauważmy,żepunktizolowanymożebyćgranicą
tylkociąguprawiestałego.Wprzestrzeniachdyskretnychzatemjedyneciągi
zbieżnetociągiprawiestałe.IstniejąjednakprzestrzenieHausdorIa(patrz
poniższyprzykład),któreniesądyskretne,aniezawierająciągówzbieżnych
pozaciągamiprawiestałymi.
Przyk≥ad1.2.32.NiechF™D(N)będzieultrafiltreminiech(xn)Œ
n11
Przypuśćmy,żeciąg(xn)Œ
n11jestzbieżny.Jeśliniejestprawiestały,toża-
denzpunktówzbioruNniemożebyćjegogranicą,bopunktyzbioruNsą
izolowane.Możemywięczciągu(xn)Œ
n11wybraćtakipodciąg(xn
k)Œ
k11™N,
żexn
k”=xn
ldlak”=l.Tooznacza,żebezstratyogólnościmożemyzałożyć,
żelim
næŒ
xn=Forazxn”=xmdlan”=m.PonieważotoczeniapunktuFsą
postaciUfi{F},gdzieUEF,toN={xn:nEN}EF,bokażdyelement
filtruFprzecinaN.NiechA={x2n:nEN}orazB={x2n11:nEN}.
PonieważAfiB=N,aFjestultrafiltrem,toalboAEF,alboBEF.Jeśli
AEF,toU=Afi{F}jestotoczeniempunktuF,którejestrozłączneze
22Znakrównościmógłbysugerować,żepunktx
0jestjedyny.Takjednakniejest.Na
przykładwprzestrzeniachantydyskretnychkażdypunktjestgranicąkażdegociągu.Napis
x0=lim
xnoznaczajedynieprawdziwośćzdania:x0jestgranicąciągu(xn)
Œ
n=1.Niektórzy
næŒ
xnlubxn≠æx0.
næŒ
23Rozważanesąteżciąginumerowaneliczbamiporządkowyminieskończonymi.Jeśli
⁄>Êjestliczbąporządkowągraniczną,toxœXjestgranicąciągu(xl)l<⁄,gdydla
każdegootoczeniaUpunktuxistniejetakie–<⁄,żex—œUdlakażdego—≥–.Własności
topologiczneopisanetakimiciągamisąomówionewartykuleBelliiTironiegoPseudoradial
