Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Dowód.Zauważmy,żedladowolnegozbioruotwartegoU™Xidowol-
negozbioruA™Xprawdziwajestinkluzja
clAflU™cl(AflU).
Faktycznie,A™(AflU)fi(X\U),awięc
clA™cl((AflU)fi(X\U))=cl(AflU)fi(X\U)j
(ú)
bozbiórX\Ujestdomknięty.StądzaśclAflU™cl(AflU).Zwarunku(ú)
wynika,żedladowolnychzbiorówotwartychUjV™Xmamy
UflIntclV=Int(UflclV)™Intcl(UflV).
dostajemywięc
IntclUflIntclV™Intcl(UflIntclV)
™IntclIntcl(UflV)=Intcl(UflV).
Tokończydowód,boinkluzjaprzeciwnawynikawoczywistysposóbzmono-
tonicznościoperacjiwnętrzaidomknięcia.
⇤
Wniosek1.2.24.JeśliUjVERO(X),toUflVERO(X).
przykładziedwóchstykającychsięprzedziałówotwartych.Wnętrzeidomknię-
ciemożnateżopisaćwterminachotoczeń.
Lemat1.2.25.JeśliXjestprzestrzeni!topologiczn!,todlakażdegozbioru
A™XikażdegopunktuxEXzachodz!następuj!cewarunki:
(1)xEIntAwtedyitylkowtedy,gdyistniejetakieotoczenieUpunktux,
żeU™A;
(2)xEclAwtedyitylkowtedy,gdyUflA”=ÿdlakażdegootoczenia
U™Xpunktux.
Dowód.Faktycznie,punktnależydownętrzazbioruAwtedyitylko
wtedy,gdynależydosumywszystkichzbiorówotwartychzawartychwA,
awięcgdynależydopewnegozbioruotwartegozawartegowA.Zkoleipunkt
nienależydodomknięciazbioruAwtedyitylkowtedy,gdynienależydo
pewnegozbiorudomkniętegozawierającegoA.Azatempunktnienależydo
domknięciazbioruAwtedyitylkowtedy,gdynależydopewnegozbioru
otwartegorozłącznegozA.
⇤
Zwnętrzemidomknięciemzbioruwiążesiępojęciebrzeguzbioru.
BdA=clAflcl(X\A).
(1.13)
skiegofrontiére.Użytetuoznaczeniepochodziodangielskiegoboundary.
