Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
składasięwięczpionowychodcinkówdługości1napłaszczyźniewystawio-
mijmyF={(nj0):nEN}.WówczasprzestrzeńilorazowaX/Fjestwyni-
kiemsklejeniawszystkichpunktównaturalnychnaosix-ówdojednegopunktu
go=F.ZbiórFjestdomkniętywX,awszystkieklasyabstrakcjizwyjąt-
kiemzbioruFsąjednoelementowe.Stądwynika,żeX/Fjestprzestrzenią
HausdorIa.ZdefinicjiprzestrzeniX/Fwynika,żeotoczeniamipunktugosą
zbiorypostaci{go}fiV,przyczymV™Xjestzbioremotwartymzawierają-
cymF.Otoczenia(bazowe)punktu0naodcinku[0j1]sąpostaci[0ja),przy
czymaE(0j1).Stądwynika,żeotoczeniabazowepunktugomająpostać
Va=Ffi{(njx):nENorazxE(0jan)}j
przyczyma=(an)Œ
n11jestdowolnymciągiempunktówprzedziału(0j1).˚
padkuprzestrzenimetrycznychkryteriumciągłościmożnasformułowaćwter-
minachciągówzbieżnych.
Twierdzenie1.3.6(kryteriumHeinego).JeśliXiYs!przestrzeniami
metrycznymi,tofunkcjaf:XæYjestci!gławtedyitylkowtedy,gdydla
każdegoci!guzbieżnego(xn)Œ
n11™Xci!g(f(xn))Œ
n11jestzbieżnyizachodzi
równość
næŒ
lim
f(xn)=f(lim
næŒ
xn).
Dowód.Załóżmy,żefunkcjafjestciągłaorazlim
næŒ
xn=xEX.Na
otoczenieUpunktux,żef[U]™V.SkoroUzawieraprawiewszystkiewyrazy
ciągu(xn)Œ
n11,toVzawieraprawiewszystkiewyrazyciągu(f(xn))Œ
n11,awięc
næŒ
lim
f(xn)=f(x).
Wdowodzieimplikacjiodwrotnejskorzystamyztwierdzenia1.3.2(4).Wy-
takiciąg(xn)Œ
n11™Ajżelim
næŒ
xn=x.Wówczasciąg(f(xn))Œ
n11jestzbieżny
orazlim
næŒ
f(xn)=f(x).Azatemf(x)Eclf[A],bo(f(xn))Œ
n11™f[A].
⇤
n11punktówprzestrzeni
(Xjd)mamylim
næŒ
xn=xwtedyitylkowtedy,gdylim
næŒ
d(xnjx)=0.Stąd
27Punktynapłaszczyźnie,podobniejakprzedziałyotwarte,oznaczamyzapomocąna-
wiasówokrągłych,comożeprowadzićdonieporozumień.Jednakzwyklezkontekstujasno
wynika,czychodzioprzedział,czyopunktpłaszczyzny.
tykuleQuotientspacesanddecompositions.