Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.FUNKCJECIĄGŁE,HOMEOMORFIZMY
35
Wniosek1.3.7.Jeśli(Xjd)i(Yjfl)s!przestrzeniamimetrycznymiiist-
niejetakastałaL,że
fl(f(x)jf(g))ŚL·d(xjg)
dladowolnychxjgEX,tofunkcjaf:XæYjestci!gła.
(1.18)
Jesttoznanetwierdzenieanalizymatematycznejmówiące,żefunkcjespeł-
ZtwierdzeniaLagrange’aowartościśredniejwynika,żekażdafunkcjatypu
RwRopochodnejograniczonejmastałąLipschitza.Wtrakciedowoduko-
jestprzykłademfunkcjispełniającejwarunekLipschitzazestałąL=1.
Twierdzenie1.3.8.JeśliXjestprzestrzeni!metryczn!,todlakażdego
zbioruniepustegoA™Xfunkcjaf:XæRokreślonawzorem
f(x)=dist(xjA)
jestci!gła.WszczególnościdlakażdegoustalonegopunktuaEXfunkcjadana
wzoremf(x)=d(xja)jestci!gła.
Dowód.Wykażemy,żedladowolnychxjgEXzachodzinierówność
|dist(xjA)≠dist(gjA)|Śd(xjg)j
(ú)
przyczymdist(xjA)=inf{d(xjg):gEA},gdziedjesttąmetrykąwX.Dla
każdegozEAmamydist(xjA)Śd(xjz),awięcnamocywłasnościtrójkąta
dist(xjA)Śd(xjg)+d(gjz).Wobectego
dist(xjA)≠d(xjg)Śinf{d(gjz):zEA}=dist(gjA).
Stądwynika,żedist(xjA)≠dist(gjA)Śd(xjg).Zamieniającxnag,do-
stajemy≠dist(xjA)+dist(gjA)Śd(gjx)=d(xjg),codajenierówność(ú).
datkowątezęotrzymamy,przyjmującA={a}.
⇤
zbioramiotwartymi.Wprzestrzenimetrycznej(Xjd)rozważasięteżniekiedy
kuledomknięte,czylizbiorypostaci
Bd(xj5)={gEX:d(xjg)Ś5}.
Ponieważprzeciwobrazzbiorudomkniętegoprzezfunkcjęciągłąjestzbiorem
pującywniosek.
Wniosek1.3.9.Każdakuladomkniętajestzbioremdomkniętym.
Kolejnetwierdzenieopisujeprostą,azarazemważnąwłasnośćfunkcjicią-
głychprzyjmującychwartościwprzestrzeniachHausdorIa.Wynikazniej
wszczególności,żezbiórwszystkichpunktówstałychdowolnejfunkcjicią-
głejodwzorowującejprzestrzeńHausdorIawsiebiejestdomknięty.