Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.FUNKCJECIĄGŁE,HOMEOMORFIZMY
39
jestzanurzeniemhomeomorficznymprzestrzeniXwY,lubkrótkoza-
nurzeniemXwY,ipiszemy,żef:XÒæY.Jeśliponadtozbiórf[X]jest
gęstywY,toXmazanurzeniegęstewY.
Homeomorfizmysąoczywiściezanurzeniamihomeomorficznymi.Jeśliprze-
strzeńYjestpodprzestrzeniąprzestrzeniX,tofunkcjaidentycznościowa,czy-
litaka,którakażdemupunktowiprzypisujetensampunkt,jestzanurzeniem
przestrzeniXwY.Istniejąteżmniejoczywisteprzykładyzanurzeń.
Przyk≥ad1.3.22(zanurzenieprzestrzeniXwexp(X)).Załóżmy,żeX
jestprzestrzeniątypuT1irozważmyfunkcjęÿ:Xæexp(X)danąwzorem
ÿ(x)={x}.Definicjafunkcjiÿjestpoprawna,bokażdyzbiórpostaci{x}jest
otwartegoU™Xzbioryÿ11[U+]orazÿ11[U1]sąotwartewX.Faktycznie,
ÿ
11[U+]={xEX:ÿ(x)EU+}=
={xEX:{x}EU+}={xEX:{x}™U}=U.
cjiÿ.Zauważmy,żedlakażdegozbioruotwartegoU™Xzachodzirówność
ÿ[U]={ÿ(x):xEU}={{x}Eexp(X):{x}™U}=ÿ[X]flU+.Aza-
temÿprzeprowadzazbioryotwartewXnazbioryotwartewÿ[X],jestwięc
zanurzeniemhomeomorficznym.
Sprawdźmy,żejeśliXjestprzestrzeniąHausdorIa,toÿ[X]jestpod-
przestrzeniądomkniętąprzestrzeniVietorisaexp(X).Weźmydowolnyzbiór
FEexp(X)\ÿ[X].WówczasFjestdomkniętympodzbioremprzestrzeniX,
którymaconajmniejdwaróżnepunkty.NiechUjV™Xbędąotoczeniami
rozłącznymitychpunktów.WówczasmamyFEU1flV1™exp(X)\ÿ[X].˚
Homeomorfizmyzachowujązbioryotwarte,czylistrukturętopologiczną,
awięcsąodpowiednikamiizomorfizmówwalgebrze.Zpunktuwidzeniato-
pologiiprzestrzeniehomeomorficzneuważamyzatakiesame.Używamyteż
meomorfizmach.Łatwozauważyć,żewłasnośćHausdorIa,wagaprzestrzeni,
zerowymiarowośćispójnośćsąwłasnościamitopologicznymi.Takżemetryzo-
walnośćjestwłasnościątopologiczną,bojeślitopologiawXjestwyznaczona
przezmetrykęd,af:XæYjesthomeomorfizmem,totopologiawYjest
wyznaczonaprzezmetrykęfl:YXYæRdanąwzorem
fl(xjg)=d(f11(x)jf11(g))j
(1.21)
dladowolnychxjgEY.Ponieważfunkcjafjestbijekcją,tofljestpoprawnie
określonąmetrykąnaY.Pozostajewykazać,żetopologiawyznaczonaprzez
3oSłownikjęzykapolskiegopodaje,żetopologiatodziałmatematykizajmującysię
badaniemtychwłasnościprzestrzeni,którenieulegajązmianieprzyprzekształceniach
homeomorficznych.