Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
dlapewnegoB1∈Θ.PowyższaproceduramodyfikujewektoryBtprzeciwniedo
kierunkuwzrostufunkcjiJ.Kiedyspełnionesąponiższewarunkiregularności,
proceduratawyznaczakolejnepunktywΘ,dlaktórychwartościfunkcjiJsą
corazmniejsze,atoprowadzidominimalizacjitejfunkcji.
Pierwszagrupawarunkówzbieżności(2.1)związanajestzciągiemparame-
trów(Bt).Powinienonmiećnastępującewłasności:
A1.Σt≥1Bt=+∞,
A2.Btjestmniejszeododwrotnościnajwiększegomodułuwartościwłasnej
hesjanu∇2J(B).
DziękiwarunkowiA1całaproceduramożepokonaćnawetnieskończonądrogę
wprzestrzeniΘ,abydoprowadzićciąg(Bt)dominimumJ.WarunekA2ma
wykluczyćkrokinatyledługie,żenaodcinkuBt→Bt+1funkcjaJmalejetylko
początkowo,poczymrośnie,idlaargumentuBt+1przyjmujewartośćwiększą
niżdlaBt.
Drugagrupawarunkównazbieżność(2.1)dotyczyregularnościfunkcjiJ.
Przykładowykompletwarunkówwystarczającychjestprzedstawionyponiżej.
A3.FunkcjaJjestciągłairóżniczkowalna.
A4.Hesjan∇2Jjestograniczony.
A5.FunkcjaJosiągaswojeinfima.
A6.Gradient∇JzerujesiętylkowminimachJ.
WarunekA3jestoczywisty:jeślifunkcjajestnieróżniczkowalnalubnieciągła,
wówczasalboniemamydodyspozycjijejgradientu,albojestonniedobrym
wskaŹnikiemkierunkuwzrostufunkcji.WarunekA4eliminujefunkcje,których
gradientmożebyćradykalnieróżnywbliskichsobiepunktachwΘ.Wtakiej
sytuacjiiteracja(2.1)możeniebyćwstanieefektywnieposługiwaćsięgradien-
tem.WarunekA5mówi,żekażdawędrówkawkierunkuzmniejszaniasięJmusi
zakończyćsiędojściemdopewnegominimum.WarunekA6wykluczautykanie
iteracjiwpunktach,któreniestanowiąminimumfunkcjiJ.
Przykład2.1Funkcjakwadratowa
Niechno=2ioznaczmyB=[x
y].NiechfunkcjaJmapostać
J(B)=J(x,g)=x2+g2−xg.
(2.2)
Charaktertejfunkcjistaniesięoczywisty,gdyzauważymy,że
J(x,g)=
1
2
[x
2+g2+(x−g)2].
Widaćzatem,żefunkcjaosiągaswojeminimumwpunkcie(0,0).Jednocześnie
mamygradientfunkcji
∇J(x,g)=[2x−g
2g−x],
22
