Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
Dlam=2twierdzenie7przyjmujeszczególnieprostąpostać:sumaU=
U1+U2jestprosta⇔U1∩U2={0}.Wszczególności,zezwiązku(7)wynika,że
wtedydimU=dimU1+dimU2.Otouogólnienietejwłasności:
TWIERDZENIE8.SumaalgebraicznaU=U1+...+Umskończeniewymiaro-
wychpodprzestrzeniliniowychjestsumąprostąwtedyitylkowtedy,gdy
dimU=
Σ
i=1
m
dimUi.
(11)
Dowód.Rozumujemyprzezindukcjęwzględemm.Przypadekm=2rozpatrzy-
liśmyjużwyżej;wsytuacjiogólnejskorzystamyztwierdzeń6i7.JeśliUjest
sumąprostą,tosumaU1+...+^
Ui+...+Umjestrównieżprostaiwobectego
dimU=dimUi+dim(U1+...+^
Ui+...+Um)
−dim(Ui∩(U1+...+^
Ui+...+Um))
=dimUi+(dimU1+...+
dimUi+...+dimUm)−0
=
Σ
i=1
m
dimUi.
Naodwrót,jeślizachodzirówność(11),tosumabazpodprzestrzeniUistanowi
bazęwU,awięcrozpatrywanasumaalgebraicznajestprosta.
Otojeszczejednawariacjanatensamtemat:
TWIERDZENIE9.Dlakażdejm-wymiarowejpodprzestrzeniUprzestrzenilinio-
wejVwymiarunistniejepodprzestrzeń(n−m)-wymiarowaWotejwłasności,
żeV=U⊕W(UiWnazywamypodprzestrzeniamidopełniającymi).
Dowód.
Wystarczyuzupełnićdowolnąbazę(a1,...,am)wUdobazy
(a1,...,am;b1,...,bn-m)wV(twierdzenie3)iprzyjąćW=(b1,...,bn-m).
Rozpatrującsumyproste,obracaliśmysiędotychczaswramachjednejprze-
strzeniliniowejV;sumyprostetegotypunazywasięniekiedywewnętrznymi.
Czasamipowstajejednakkoniecznośćrozpatrywaniazewnętrznejsumyprostej
U⊕WdwóchprzestrzeniliniowychnadtymsamymciałemK,nawetjeślinie
sąonepodprzestrzeniamiwspólnejprzestrzeniliniowej.Wtymwypadkuprzez
U⊕WrozumiemyzbiórV=U×Wwszystkichparuporządkowanych(u,w),
gdzieu∈Uiu∈W,zdziałaniamiokreślonymiwzorem
α(u,w)+B(u!,w!)=(αu+Bu!,αw+Bw!).
