Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
MamyoczywiścieSMag2(Q)=(E,D)Q.Wtymwypadku(tzn.dlan=2)S=
E+Djestjedynąmacierząmagicznązdokładnościądoczynnikawymiernego.
Dlan=3możnawskazaćmniejoczywistąmacierzmagiczną
A=
120
012
201
.
Znaleźćpowyższewymiarydlan=3in=4.
11.Udowodnićrozkładnasumęprostą
SMagn(Q)=Magn(Q)⊕QE⊕QD.
12.NiechV1,...,VkbędąpodprzestrzeniamiprzestrzeniliniowejVwymiarun.
Udowodnić,żejeślidimV1+...+dimVk>n(k−1),toΠ
k
i=1Vi/={0}(jest
tobezpośrednieuogólnienierezultatówwynikającychzewzoru(7)).
§3.PRZESTRZEŃDUALNA
1.Formyliniowe.KażdejprzestrzeniliniowejVnadciałemKmożnaprzy-
pisaćpewnąinnąprzestrzeńliniową,związanązVspecjalnąrelacjądualności.
Wtymceluwprowadzamynastępującądefinicję:
DEFINICJA1.Odwzorowanief:V→Kspełniającewarunek
f(αx+By)=αf(x)+Bf(y)
Vα,B∈K,x,y∈V,
nazywamyformąliniowąlubfunkcjonałemliniowym(tenostatniterminstosuje
sięnajczęściejwteoriiprzestrzeninieskończeniewymiarowych).
Przyjmijmy,żeVmabazę(e1,...,en).Wtedywartośćformyliniowejfna
wektorzex=λ1e1+...+λnenmożnazapisaćwpostaci
f(x)=λ1B1+...+λnBn,
(1)
gdzieBi=f(ei)sąskalarami,zależnymijedynieodwyborubazy.Naodwrót,
widaćodrazu,żedladanejbazy(e1,...,en)dowolnyukładskalarówBi∈Kdla
i=1,...,nwyznaczazapomocą(1)(dokładniejedną)formęliniowąspełniającą
warunekf(ei)=Bi.Należyjednakpodkreślić,żeaniwdefinicjiformyliniowej,
aniwrównoważnychjejzwiązkach
f(x+y)=f(x)+f(y),
f(λx)=λf(x)
niemażadnejwzmiankiowyborzebazy,tj.definicjaformyliniowejjestniezmien-
nicza(niezwiązanazwyborembazy).
Skoroprzedstawiamywartościformyliniowejfwpostaci(1),powinniśmy
znaćreguły,wedługktórychzmieniająsięwspółczynnikiBi=f(ei)przyprzejściu
