Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
Zaczniemyodprzypomnieniakilkupojęćzalgebryliniowejianalizyoraz
ustaleniaoznaczeń.
Prawiewszystkiezbiory,którebędziemyrozważać,będąpodzbioramiprze-
strzeniafinicznejnadciałemliczbrzeczywistychR.Przestrzeńafiniczna
n-wymiarowaskładasięzezbiorupunktówRnin-wymiarowejprzestrzeni
liniowejwektorówswobodnych,którąbędziemyoznaczalisymbolemT(Rn).
Zarównopunkty,jakiwektory,ton-elementoweciągiliczbrzeczywistych.Aby
odróżnićpunktyodwektorów,współrzędnepunktówbędziemyzapisywaćwna-
wiasachokrągłych,współrzędnewektorów—wkwadratowych.Wektormoże-
mydodaćdopunktuiotrzymujemywtedypunkt,różnicądwóchpunktów
jestwektor.WektorybazystandardowejprzestrzeniT(Rn)będziemyoznaczali
symbolamie1je2j...jen,apunkt(0j...j0)∈Rnbędziemyzapisywaliwskró-
ciejako0.TerminnprzestrzeńeuklidesowaRn”będzieoznaczałprzestrzeńafi-
nicznąRnzestandardowymiloczynemskalarnym([x1j...jxn]j[y1j...jyn]>=
n
=
Σ
xiyinaprzestrzeniwektorówswobodnychT(Rn).
i=1
1.1.Definicja.
Przekształcenie0=(01j...j0m):W−→Rmokreślonena
otwartympodzbiorzeWprzestrzeniRnnazywasięprzekształceniemgład-
kimlubodwzorowaniemgładkimwtedyitylkowtedy,gdy0jestklasy
C∞(cooznacza,że0jestnieskończeniewielerazyróżniczkowalne,czylifunk-
cjewspółrzędne0imająciągłepochodnecząstkowewszystkichrzędów).
1.2.Uwaga.
OtwartośćzbioruWjestjednymzwarunkówgładkościprze-
kształcenia.Dlawygodybędziemyjednakczasemużywaćterminunprzekształ-
ceniegładkie”wodniesieniudoprzekształceńzbiorówniekoniecznieotwartych.
Zawszebędziemywtedymielinamyśliobcięciaprzekształceńgładkichokre-
ślonychnazbiorachotwartych.
1.3.Uwaga.
Dlax∈Wróżniczkad0x:T(Rn)−→T(Rm)przekształcenia
0wpunkciex,czyliprzekształcenieliniowetakie,że
