Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
11
1.8.Przykład.
PrzekształcenieT:R→R2określonewzoremT(t)=
=(costjsint)dlat∈Rjestimmersją.
1.9.Przykład.
Jeślin>m,towłożenieź:Rm→Rnokreślonewzorem
ź(x1j...jxm)=(x1j...jxmj0j...j0)jestimmersją.
1.10.Twierdzenie(oimmersji).
Jeżelip:U→Rnjestimmersjąwpunk-
cieu∈U,toistniejetakidyfeomorfizm0:W→0(W)⊂Rnokreślonyna
otoczeniuWpunktup(u)wRn,że(0◦p)(u1j...jum)=(u1j...jumj0j...j0)
dla(u1j...jum)należącychdopewnegootoczeniaUopunktuuwRm(rys.1.1).
Rys.1.1
Dowód.
Skoropjestimmersjąwu,torządmacierzyp′(u)jestrównym,
więcpewnakwadratowapodmacierzstopniammacierzyp′(u)jestnieosobli-
wa.Możnazałożyć,żejesttopodmacierzzłożonazpierwszychmwierszy
(wprzeciwnymwypadkuzłożylibyśmypzdyfeomorfizmemRnzmieniającym
kolejnośćwspółrzędnych).Definiujemyprzekształceniew:UXRn1m→Rn
wzorem
n
w(u1j...jumjum+1j...jun):=p(u1j...jum)+
Σ
uiei.
i=m+1
Jakłatwosprawdzić,jakobianJw(uj0)/=0,więcztwierdzeniaoodwzorowa-
niuodwrotnym(1.6.)wynika,żewprzekształcadyfeomorficzniepewneoto-
czeniepunktu(uj0)napewneotoczenieWpunktup(u).Wtedy0=w11
przekształcadyfeomorficznieWna0(W)oraz(0◦p)(u1j...jum)=
=
(w11◦w)(u1j...jumj0j...j0)
=
(u1j...jumj0j...j0),gdytylko
(u1j...jumj0j...j0)∈0(W).ZaUomożnaprzyjąćjakiekolwiekotoczenie
punktuuzawartewzbiorze{(u1j...jum)∈Rm:(u1j...jumj0j...j0)∈
∈0(W)}.✷
1.11.Definicja.
Niechf:W→Rkbędziegładkimprzekształceniemokreś-
lonymnaotwartympodzbiorzeWprzestrzeniRn.Przekształceniefnazywasię
submersjąwpunkciew∈Wwtedyitylkowtedy,gdydfw:T(Rn)→T(Rk)
jestepimorfizmem(wtedywszczególnościn>k).Przekształceniefnazywa
sięsubmersją,jeślijestsubmersjąwkażdympunkciew∈W.
