Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
13
dlaR
i,R
j,R
knależącychdogrupyGzachodzi:
(1)
(R
iCR
j)CR
k=R
iC(R
jCR
k)(łącznośćdziałaniawewnętrznego),
(2)
istniejewgrupieGelementEtaki,żedlakażdegoR
i
spełnionajestrównośćECR
i=R
iCE=R
i(istnienieelementu
neutralnegolubjednostkowego),
(3)
dlakażdegoelementuR
izgrupyGistniejewgrupie
elementR
i
-1taki,żespełnionyjestwarunekR
iCR
i
-1=
R
i
-1CR
i=E(istnienieelementuodwrotnego).
Rozważmyprostyprzykład.Utwórzmynowyzbiórzłożonyzczterechzbiorów(I.1-1),
mianowicieõ
4=(R
0,R
1,R
2,R
3),izdefiniujmywtymzbiorzedwadziałaniawewnętrzne
następująco:jeślia0R
iib0R
jorazab0R
k,toR
iCR
j=R
k.Podobnie,jeślia0R
iib0R
joraza+b0R
k,
toR
i+R
j=R
k.Nietrudnosprawdzić,żetakokreślonedziałaniasądziałaniamiwewnętrznymi;
jednoznichbędziemyokreślaćjakoaddytywne(,,+”),adrugiejakomultiplikatywne(,,C”).
Wynikimnożeniaidodawaniawzbiorzeõ
4podajątabeleI.2iI.3.
TabelaI.2.Mnożeniewzbiorzeõ
4.
„C”
R
R
R
R
0
1
2
3
R
R
R
R
R
0
0
0
0
0
R
R
R
R
R
1
0
1
2
3
R
R
R
R
R
2
0
2
0
2
R
R
R
R
R
3
0
3
2
1
TabelaI.3.Dodawaniewzbiorzeõ
4.
„+”
R
R
R
R
0
1
2
3
R
R
R
R
R
0
0
1
2
3
R
R
R
R
R
1
1
2
3
0
R
R
R
R
R
2
2
3
0
1
R
R
R
R
R
3
3
0
1
2
Zewzględunadodawaniezbiórõ
4tworzygrupę.Zbiórtenniejestjednakgrupązewzględu
namnożenie.Wszczególnościnieistniejeelementjednostkowydlamnożenia.Nietrudno
zauważyć,żejeślijednazkolumnlubjedenzwierszytabelkizawierapowtarzającesię
elementy,tozbiórniejestgrupązewzględunadanedziałaniewewnętrzne.Jesttowłasność
ogólna,którąinaczejmożnawyrazićnastępująco:Abyzbiórzdziałaniemwewnętrznymbył
grupą,potrzebaiwystarcza,abytabelaokreślającatodziałanieniezawieraławkolumnach
iwierszachpowtarzającychsięelementów.
JakodrugiprzykładrozważmyzbiórS
3złożonyzwszystkichpermutacji3-elementowych:
(I.1-2)
