Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Podanewyżejwłasnościrelacjimożnałatwozilustrowaćgraficznie.Mianowicie,rozważmy
zbiór{a,b,c,d}.Układająctabelkęskładaniawparyelementówtegozbioru,będziemymówić,
żedwaelementyzbiorusąwrelacji,jeślinaprzecięciusięodpowiedniegowierszaikolumny
znajdziesięsymbolU.TabelaI.1jestilustracjąrelacjisymetrycznej(2).Czytelnikowi
pozostawiamyodpowiedźnapytanie:jak
wyglądałabytabelaI.1,gdybyrelacjaUbyła:
TabelaI.1.Graficzneprzedstawienierelacji
symetrycznej.
relacjązwrotną(1)iprzechodnią(3).Relacja,
którajestjednocześniezwrotna,symetryczna
iprzechodnia,nosinazwęrelacjirówno-
ważności.Każdarelacjarównoważnościdzieli
zbiórnarozłącznepodzbioryzwaneklasami
równoważnościzewzględunadanąrelację.
a
b
c
d
U
a
U
U
b
U
U
c
U
d
Rozłącznośćpodzbiorówoznacza,żeichiloczyn
jestzbiorempustym.Rozważmyprostyprzykład.
Weźmyzbiórliczbcałkowitychidwiedowolne
liczbyaibztegozbioru.Będziemymówili,że
aibsąwrelacjiU,jeśliichróżnicaa-bjest
podzielnabezresztyprzezzgóryzadanąliczbęnaturalnąm.Relacjataznanajestjakorelacja
modulomlubmod(m).Czytelnikowizalecasięsprawdzenie,żerelacjamod(m)jest
równoważnością,toznaczyjestzwrotna,symetrycznaiprzechodnia.Tymsamymdzieliona
zbiórliczbcałkowitychnarozłączneklasy.Przykłademtakiegopodziałuzbioruliczb
całkowitychprzezrelacjęrównoważnościmod(4)jestnastępującyzbiórklas(równoważności):
(I.1-1)
Niezbędnymatrybutemkażdejstrukturyalgebraicznejzbiorujestdziałaniewewnętrzne.
Przezdziałaniewewnętrznewzbiorzebędziemyrozumieliprzyporządkowaniekażdejparze
elementówzezbioruinnegoelementunależącegotakżedotegozbioru.Działanietobędziemy
oznaczaćznakiemmnożenia,,C”.Należyjednakpodkreślićumownośćtegosymbolu,gdyż
działaniewewnętrznewzbiorzeniemusibyćanidodawaniem,animnożeniemwsensie
znanymzarytmetyki.Symbol,,ACB”należyzatemrozumiećjakostwierdzenie,,łączymyA
zB”iwwynikudostajemynowyelementzbioru.PodobnienależyrozumiećsymbolA+Blub
A&B,etc.Zróżnychoznaczeńdziałaniawewnętrznegokorzystamywtedy,gdywzbiorze
występujewięcejniżjednodziałanie.OzbiorzeG=(E,R
1,R
2,...R
g-1),wktórymokreślonojedno
działaniewewnętrzne,mówisię,żemastrukturęgrupy(lubpoprostu,żejestgrupą),jeśli
spełnionesąnastępującewarunki:
