Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
twierdząca.Itak,dwierównolicznegrupyGiGNmożnaidentyfikowaćzesobą,jeśliistnieje
odwzorowanieG6GNspełniającenastępującedwawarunki:
(a)KażdyelementgrupyGdajesięodwzorowaćnajakiśelementwgrupieGN(epimorfizm).
(b)RóżnymelementomzgrupyGodpowiadająróżneelementygrupyGN(monomorfizm).
Jeśliobawarunkisąspełnione,toodwzorowanieG6GNnazywamyizomorfizmem,aogrupach
GiGNmówimy,żesąizomorficzne.Grupizomorficznychalgebranieuważazaróżne
ponieważwsensieformalnymmająoneidentycznąstrukturę.Takaidentycznośćoznacza,że
wszystko,comożemypowiedziećojednejgrupie,możemytakżepowiedziećodrugiejgrupie.
Cowięcej,jeślirozpatrujemykilkagrupizomorficznychG,GN,GO,...,towówczasnietrudno
stwierdzić,żezwiązekocharakterzeizomorfizmujestrelacjązwrotną,symetrycznąoraz
przechodnią.Związektenoznaczasięzwyklesymbolem„.”.Itaknaprzykład,jeśliG.GN
iGN.GO,totakżeG.GO(przechodniość).Relacjatajestwięcrelacjąrównoważności.
Rozważmyprostyprzykład.TabeleI.5,I.6orazI.7definiujądziałaniewewnętrznedla
trzechróżnychrównolicznychgrup.Grupaõ
3jestaddytywnągrupąmod(3)oelementach:
(I.2-3)
Grupa,jestpodgrupągrupysymetrycznej(permutacyjnej)S
3,zaśGjestdowolnągrupą
trójelementową.
TabelaI.5.Grupaõ3.
R
R
R
0
1
2
R
R
R
R
0
0
1
2
R
R
R
R
1
1
2
0
R
R
R
R
2
2
0
1
TabelaI.6.GrupaG.
TabelaI.7.Grupa,.
A
B
E
E
A
B
E
A
A
B
E
E
B
B
A
p
p
p
0
1
2
p
p
p
p
0
0
1
2
p
p
p
p
1
1
2
0
p
p
p
p
2
2
0
1
Dokonującprzypisania(odwzorowania):
(I.2-4)
czytelnikbeztrudnościzauważy,żetrzygrupysąnietylkorównoliczne,aletakżespełniają
warunkiepimorfizmuimonomorfizmu.Tymsamymgrupyõ
3,,orazGsąizomorficzneipod
względemalgebraicznymidentyczne.
Użytadoilustracjipojęciaizomorfizmugrupa,jest,jakjużwspomniano,jednązpodgrup
grupysymetrycznejS
3.GrupysymetryczneS
nodgrywająszczególnąrolęwteoriigrup,aich
