Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
17
znaczeniewynikazważnegotwierdzeniapochodzącegoodCayleya.Mianowicie,można
pokazać,żeprawdziwejestnastępujące
TWIERDZENIE2(Cayleya)
KażdagrupaGskończonegorzędunjestizomorficznazpewnąpodgrupągrupy
symetrycznejS
n.
IlustracjamipowyższegotwierdzeniasągrupyGiõ
3zdziałaniamigrupowymiokreślonymi
wtabelachI.5iI.6.Grupytesąizomorficznezgrupą,,ata,jakwiemy,jestpodgrupągrupy
S
3.Wmiejsce(nietrudnego)dowodutwierdzenia2podamysposób,wjakidlawybranejgrupy
możemywygenerowaćpodgrupęgrupysymetrycznej
izomorficznązrozważanągrupą.Sposóbtenpodpowiada
TabelaI.8.KwadratCayleyagrupy
czwórkowejKleina.
głównąideędowoduCayleya,którytodowódczytelnik
złatwościąprzeprowadzisamjakoćwiczenie.
Rozważmydlaprzykładutakzwanącztero-grupęV
nazywanączasemgrupączwórkowąKleina.Działanie
wewnętrznewgrupieVokreślonejesttabeliI.8.Jak
E
V
B
A
C
A
B
C
E
E
E
A
A
C
B
A
B
B
C
E
C
C
B
A
E
każdatabelamnożeniagrupowego,takżetabelaI.8
zbudowanajestzwierszy,wktórychelementynigdynie
pojawiająsięwtymsamymporządku.Gdybybyło
inaczej,zbiórVniebyłbygrupą.Zkażdegowiersza
tabeliI.8utwórzmyterazpermutacjeizapiszmyje
wtakiejsamejkonwencji,jakrobiliśmytodlagrupsymetrycznych,toznaczygórnywiersz
podajenaturalnyciągelementówE,A,B,C,zaśdolnyzawierawierszeztabelkigrupy.
Dostaniemywięc
(I.2-5)
Dokonującterazprzypisania:E6B
elementówV
wnastępującysposób:
B=(B
E,B
A,B
B,B
C)tworzygrupę.Działaniewewnętrznewtejgrupieokreślonejest
E,A6B
A,B6B
BorazC6B
C,nietrudnopokazać,żezbiór
(I.2-6)
Sposób„mnożenia”elementówB
E,B
A,B
BiB
Cjesttakisam,jaktenokreślonywcześniejdla
grupsymetrycznych.Cowięcej,jeślidokonamyprzyporządkowania:E61,A62,B63oraz
C64,todostajemynatychmiastgrupę
