Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
19
(I.3-1)
Niech(A
0,A
1,A
2,...)będziezbioremwarstw,wktórymokreślonodziałaniewewnętrzne
(mnożenie)wnastępującysposób.GdyR
iH
p0A
iorazR
jH
s0A
j,toA
iCA
j=A
kwtedyitylko
wtedy,gdy(R
iH
p)C(R
jH
s)0A
k.Mówiącobrazowo,bierzemyjedenelementzwarstwyA
i,adrugi
zwarstwyA
jipatrzymy,gdzieznajdujesięichiloczyn.JeśliiloczynznajdujesięwA
k,to
mówimy,żeA
iCA
j=A
k.Twierdzimy,żezbiór(A
0,A
1,A
2,...)utworzonyzwarstwwraz
zokreślonymwyżejmnożeniemwarstwmastrukturęgrupy.Grupętęnazywamygrupą
ilorazowągrupyGprzezjejpodgrupę,lubkrócejgrupąilorazowąioznaczamyG/,.
Elementemneutralnym(jedynką)grupyilorazowejjestsamapodgrupaniezmiennicza.
Rozważmyprostyprzykład.Jakjużwspomnianowyżej,grupasymetrycznaS
3=(p
0,p
1,p
2,p
3,
p
4,p
5)mapodgrupęniezmienniczą,=(p
0,p
1,p
2)rzędu3.Jedynymiróżnymiwarstwamigrupy
S
3względempodgrupy,sądwiewarstwyA
0=p
0,=(p
0,p
1,p
2)orazA
1=p
3,=(p
3,p
4,p
5).Od
razuwięcspostrzegamy,żesuma(zbiorów)dwuwarstwwyczerpujegrupę,toznaczyinnych
warstwniema.Nietrudnotakżepokazać,żezbiór(A
0,A
1)jestgrupąilorazowąS
3/,.Istotnie,
korzystającztabeliI.4,dostajemytabelkęI.9mnożeniawgrupieilorazowej.Jedynkągrupy
ilorazowejjestpodgrupaniezmienniczaA
0.Wartozauważyć,żewomawianymprzykładzie
grupailorazowajestgrupąabelową,chociażsamagrupaS
3jestnieabelowa.
Omówionywyżejpodziałgrupynawarstwyjestzoczywistychwzględówzwiązany
zpodgrupąniezmiennicząużytąjakodzielniknormalny.Elementjednostkowyicałagrupasą
zoczywistychwzględów(niewłaściwymi)podgrupami
niezmienniczymi.Grupa,któranieposiadawłaściwychpodgrup
TabelaI.9.GrupyS
3/,..
niezmienniczych,nazywasięprostą.Jeślizatemgrupaniejest
prosta,możnazazwyczajwygenerowaćkilkagrupilorazowych,
atymsamymdokonaćpodziaługrupynawarstwywwieloraki
sposób.Dowolnągrupęmożnajednakpodzielićtakżewinny
A
A
0
1
A
A
A
0
0
1
A
A
A
1
1
0
sposób,jeśliznanajestrelacjaUokreślonanastępująco:dwa
elementyR
iorazR
jsąwrelacjiR
iUR
j,jeśliistniejewgrupieG
elementCtaki,żespełnionyjestzwiązekCR
iC-1=R
j.Czytelnik
możesięłatwoprzekonać,żerelacjatajestrównoważnością,gdyżjestonazwrotna,
symetrycznaiprzechodnia.Awięcdzielionagrupęnarozłącznezbioryzwaneklasami
równoważnościlubpoprostuklasami.Oelementachnależącychdodanejklasymówimy,że
sąsprzężone.Należypodkreślić,żeklasyniesąanipodgrupami,anijakozbioryniesą
warstwami.Międzyklasamiipodgrupaminiezmienniczymizachodzijednakprostyzwiązek.
Mówionimnastępujące
TWIERDZENIE3
Podgrupaniezmiennicza,jestsumą(zbiorów)pewnejliczbypełnychklasrównoważności.
DladowolnejklasyrównoważnościgrupyGpodgrupaniezmiennicza,zawieraalbo
wszystkie,alboniezawierażadnegozelementówdanejklasy.
