Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
SiUspełniajązwiązekSR=U,toichreprezentantyD(R),D(S),D(U)spełniajązwiązek
D(S)D(R)=D(U).Rzeczywiście,jeślispełnionesąrówności:
(II.1-3)
tobiorącpierwsząznichidziałającobustronnieoperatoremS,dostaniemy:
(II.1-4)
JeśliwięcSR=U,tozgodniezdrugimrównaniem(II.1-4),takżeD(S)D(R)=D(U).Powyższe
spostrzeżeniamożemytakżewyrazićnastępująco.Działaniewewnętrznewgrupieoperatorów
przechodziwmnożeniemacierzywzbiorzejejreprezentantów.Cowięcej,jeślioperatoryS
iRsąwzajemnieodwrotne,totakżemacierzeD(S)iD(R)sąmacierzamiwzajemnie
odwrotnymi.Tymsamymreprezentacjaoperatorówstajesięgrupązmnożeniemmacierzowym
jakodziałaniemgrupowym.Ustalenierelacjimiędzygrupąoperatorówiichreprezentantami
określaodwzorowanieizomorficznegrupyoperatorównagrupęmacierzy.Możnadalej
pokazać,żejeślibazajestortogonalnaigrupaoperatorówmarządskończony,to
wygenerowanareprezentacjaskładasięzmacierzyunitarnych.Dalejbędziemywięczajmować
sięjedyniereprezentacjamiunitarnymi.
Mającreprezentacjęgrupyoperatorów,możemyiśćojedenkrokdalejiznaleźćzwiązek
międzyzbioremreprezentantówimacierząHamiltonaokreślonąwdanejbaziejakomacierz
oelementachH
ij=+N
ilHlN
j,.Wpoprzednimparagrafiestwierdziliśmy,żeoperatorHamiltona
cząsteczkijestniezmienniczywzględemtransformacjiwspółrzędnychwszystkichcząstek
wmolekule.Przebadajmyterazdalszemożliwekonsekwencjetegofaktu.Przedewszystkim
zauważmy,żedladowolnejfunkcjiNwspółrzędnychr
1,r
2,...r
Nprawdziwyjestciągrówności:
(II.1-5)
ZrównościtychwynikanatychmiastrównośćoperatorowaHR-RH=0oznaczająca,żeoperator
Hkomutujezwszystkimioperatoramigrupy.Abywykorzystaćtenfakt,zauważmy,że
zwarunkuRH=HRwynikabezpośredniorównośćelementówmacierzowych+N
ilRHlN
j,=
+NilHRlN
j,.Obliczymyzatemlewąiprawąstronętejrównościzapomocątwierdzenia
o„zupełności”(patrzUzupełnienieB).Itak,dlaelementumacierzowego+N
ilRHlN
j,
dostajemy: