Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wykorzystując
x
1
(1)
i
x
3
(0)
zdrugiegorównaniaukładu(1.50)wyznaczasię
x
2
(1)
±
a
1
22
(
b
2
-
ax
211
(1)
-
ax
233
(0)
)
Popodstawieniu
x
1
(1)
i
x
2
(1)
dorównaniatrzeciegoobliczasię
x
3
(1)
±
a
1
33
(
b
3
-
ax
311
(1)
-
ax
322
(1)
)
Natymkończysiępierwszaiteracja.Procestennależypowtórzyćwielokrotnie,ażdo
uzyskaniarozwiązania
X
=
xx
1
2
,
x
3
]
minimalnieróżniącegosięodpodobnegoroz-
[,
wiązaniauzyskanegowpoprzedniejiteracji.Opisanypoowyżejprocesjestzbieżny,jeżeli:
a
ii
2Σ
a
ij
,
dlakażdego
i
±
1,2,3,...,
n
(1.51)
ij
#
przyczymprzynajmniejjednaztychnierównościpowinnabyćnierównością
ostrą.Warunek(1.51)jestwarunkiemwystarczającym,aleniekoniecznym,tj.dla
niektórychukładówrównańprocesobliczeńmożebyćzbieżnypomimotego,że
warunektenniejestspełniony.Postępujączgodnieztymwnioskiem,równania
należyprzestawićwtakisposób,abyelementyleżącenagłównejprzekątnejbyły
jaknajwiększecodowartościbezwzględnej.
Zporównaniaalgorytmówprzedstawionychmetoditeracyjnychwynika,że
metodytesąbardzopodobne.WmetodzieJacobiegokolejne,(
k+
1)
przybliże-
nieposzukiwanegorozwiązaniaobliczasięwyłącznienapodstawieprzybliżenia
uzyskanegowpoprzedniej,k-tejiteracji.NatomiastwmetodzieGaussa-Seidelapo-
szczególneskładowekolejnegoprzybliżenia
x
(
j
k
+
1)
,gdzie
j
±
1,2,3,...,
n
,obli-
czasięzarównonapodstawieprzybliżeniauzyskanegowpoprzedniej,k-tejite-
racjijakinowoobliczonychskładowych
x
i
(
k
+
1)
,gdzie
i
<
j
.Dziękitemumetoda
Gaussa-Seidelazapewnialepszązbieżność.
Przykład1.6
WceluilustracjimetodyGaussa-Seidelawyznaczonokilkaprzybliżeńrozwiąza-
nianastępującegoukładurównań
f
4
-
1
1
0
0
0
1
f1
x
1
0
1
-
1
12
0
00.5
5
1
2
7
|
|
|
|
|
|
J
|
||
||
||
||
||
||
LJ
x
x
x
x
3
4
5
6
±
f
|
|
|
|
|
6.4
0.3
2.9
4
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L
2
1
1
1
0
-
6
2
0
0
1
-
-
1
1
5
0
1
4
0
2
|
|
||
||
x
2
|
|
|
L
-
2.6
1.1
|
|
|
J
40
