Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
miałobymiećrozwiązanie
Funkcjezmiennejzespolonej
x=
J2+√−121+3
3
J2−√−121.
(1.2)
Występującepodkwadratowympierwiastkiem−121przeczyłozdrowemu(szesnas-
towiecznemu)rozsądkowi.AleBombelliwiedział,żerozwiązaniemrównania(1.1)
sąnprawdziwe”(rzeczywiste)liczby:4oraz−2±√3.Jegorewolucyjnypomysł
polegałnazałożeniu,żewystępującewrozwiązaniu(1.2)pierwiastkitrzeciego
stopnietoliczbyzespolone,będącesumąliczbynzwykłej”(rzeczywistej)inniezwy-
kłej”(urojonej).Taostatniapowstajezprzemnożeniapewnejliczbyrzeczywistej
przez√−1.Wdodatkuobapierwiastkitrzeciegostopniapowinnysięróżnićmiędzy
sobąpojawiającymsięwsumieczęścirzeczywistejiurojonejznakiem,wsposób
identycznydotegowjakiróżniąsięwielkościwystępującepodznakiempierwiastka,
toznaczy
J2+√−121≡o+β√−1i3
3
J2−√−121≡o−β√−1j
gdzieoiβnależałobywyznaczyć2.
Wtensposóbwłaśniepojawiłysięnliczbyzespolone”,zawierającewsobieuro-
joną(awięcnieistniejącą)wielkość–kwadratowypierwiastekz–1.Przezprzeszło
dwieścielatpozostawałypełnąabstrakcjąmatematyczną–abstrakcją,któraod-
powiedniomanipulowanamogłajednakdoprowadzićdorealnychwyników.
Dopieronapoczątku19.wiekupowstałanowakoncepcja–wykorzystaniatych
tworówmatematycznychdoopisupłaszczyzny.Takjakzbiórliczbrzeczywistych
możnawsposóbjedno-jednoznacznyprzedstawićzapomocąosiliczbowejx(każ-
dypunktosiodpowiadapewnejliczbierzeczywistejod−∞do∞iodwrotnie),
takmożnawprowadzićjedno-jednoznaczneprzyporządkowaniepomiędzyparami
liczbipunktamipłaszczyzny.Uporządkowanąparęliczb(ajb)traktowaćmożemy
jakowspółrzędnekońcawektora,któregopoczątekpokrywasięzpoczątkiemukła-
duwspółrzędnych.Osietegoukładutodwientradycyjne”osieliczbowe,0xi0y,
ztym,żejednostkąosi0xjest1,aosi0y–urojonajednostkai=√−1.Tejed-
nostkispełniająjednocześnierolewersorówosi,wtymsensieżedowolnypunktna
płaszczyźniezespolonej(zwanejteżpłaszczyznąArgandalubpłaszczyznąGaussa)
możemyprzedstawićjakoz=1·a+i·b.Współrzędnax-owa,a,toczęśćrze-
czywistaliczbyzespolonej,natomiastwspółrzędnay-owa,b,tojejczęśćurojona.
Analogiczniemówimyorzeczywistejosi0xiosiurojonej0ypłaszczyzny0xy.
Wdalszymjednakciąguprzydatnośćliczbzespolonychbyłamałowidoczna.
Możnaichbyłoużyć(zobaczymytowtymrozdziale)dozgrabnegozapisupew-
nychoperacjinawektorachwprzestrzenidwuwymiarowej(napłaszczyźnie).Do-
pierowdrugiejpołowie19.wiekuzaczęłasięobjawiaćpotęganietylealgebryliczb
zespolonychcoteoriifunkcjizmiennejzespolonej.Teoriata,dostarczyłazjednej
2Obszerniejszywywód:www.fis.agh.edu.pl/∼lenda/alg/screen.pdf.
