Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Całkafunkcjizmiennejzespolonej
Rysunek1.10:Konturdoobliczeniacałki/
AC
coszdz
25
Proponujemyteraz,abyCzytelnikzechciałsamobliczyćcałkę/
AC
coszdzpo-
międzydwomanarożamikwadratu,któregośrodekznajdujesięwpoczątkuukła-
du,aktóregowierzchołkiABCiDmająwspółrzędne±1j±1(por.rysunek1.10)
korzystajączróżnychdrógpomiędzypunktamiAiC:ABC,ADCibezpośred-
niopoprzekątnejkwadratuA0C.Wpierwszymprzypadku,nadrodzeABmamy
dz=idyjcosz=cos(−1+iy);nadrodzeBC–dz=dxjcosz=cos(x+i).Całka
jestrówna2sin(1+i).
AnalogicznieprzeprowadzimyrachunkinadrodzeADC.NaprzekątnejA0C
mamyzaśx=y.Okażesię,żeotrzymujemytakisamwynikwewszystkichtrzech
wariantach!Jeżelitak,tołatwowywnioskujemy,żecałkapokonturzecałegokwa-
dratubędzierównazeru,podobniejakcałkipotrójkątachprostokątnychABC
iADC.
Zerowaniesięcałkipokonturzezamkniętymoznacza,żewartośćcałkipomiędzy
dwomapunktami,leżącyminatymkonturze,niezależyodłączącejjedrogi.Ale
niezawszetakbędzie.Sprawdźmy,costaniesięjeżelipotychsamychkonturach
ABCiADCzrysunku1.10będziemycałkowaćfunkcjęf(z)=
odpowiedniecałkiprzekształcamyfunkcjepodcałkową
1
z
.Abyobliczyć
z
1
=
x+iy
1
=
x2+y2
x
−i
x2+y2
y
j
dz=dx+idy;
mamyteż:ABiDC:x=±1→dx=0j
BCiAD:y=±1→dy=0.
Dostajemydwaróżnewyniki:
/
ABC
1
z
dz=−4iarctg1=−iπ;
/
ADC
1
z
dz=4iarctg1=iπ.
