Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Całkafunkcjizmiennejzespolonej
Ogólnie,korzystajączoczywistych
23
z=x+iy;
f(xjy)=u(xjy)+iv(xjy)
możemytakącałkęzapisaćjakosumędwóchcałek
/
zp
zk
f(z)dz=/
x0,y0
xn,yn
[u(xjy)+iv(xjy)][dx+idy]
=/
x0,y0
xn,yn
[u(xjy)dx−v(xjy)dy]+i/
x0,y0
xn,yn
[v(xjy)dx+u(xjy)dy]j
gdzieobiecałki,tocałkikrzywoliniowezwektorów(liczbzespolonych)napłasz-
czyźnieCz;technikiichobliczaniasąanalogicznejakwprzypadkucałekkrzywo-
liniowych.Wszczególnościzmianakierunkuobiegukonturubędziepowodowała
zmianęznakucałki.
Samoobliczaniejestproste–wprzypadkugdy(ndwuwymiarowa”)zmienna
zznajdujesięnakonturze,tracionajedenstopieńswobodyijejczęśćrzeczywi-
stąxorazczęśćurojonąy–albojejmodułTiargumentθz–możemypoddać
parametryzacji,toznaczywyrazićjejakofunkcjejednejzmiennejt.
JakoprzykładrozpatrzmycałkowaniefunkcjiznpokonturzeΓbędącymokrę-
giemośrodkuwpoczątkuukładuipromieniuR.
Mamy:z=Reio;
dz=iReiodθ;θ∈[0j2π].
Parametremtbędziekątθ.Naszacałkato
/
Γ
zndz=iRn+1/
o
2π
ei(n+1)odθ
=n/=−1=i
i(n+1)
Rn+1
ei(n+1)o
|
|
|
2π
o
=0.
Tasamacałkadlan=−1jestrówna2πi.
Innyprzykład–rozpatrzmycałkępogórnympółokręgu|z|=1zfunkcjif(z)=z.
Itutajdokonujemyparametryzacji;parametremjestznowukątθ.
