Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
równyiloczynowiichmodułów,aargument
sumieichargumentów.
Przyjmującrówneczynniki,otrzymujemywzórdeMoivre’anapotęgowa-
nieliczbyzespolonej,którepoleganapotęgowaniumodułuimnożeniu
argumentuprzezwykładnikpotęgi.
30Dzieleniedwóchliczbzespolonychpoleganadzieleniuichmodułów
iodejmowaniuichargumentów,tzn.modułilorazujestilorazemodpowied-
nichmodułów,aargument
różnicąargumentów.
Specjalneznaczeniewzbiorzeliczbzespolonych
maoperacjapierwiast-
kowaniaopisanawzorem40,którajestnaogółniejednoznaczna.Zgodnie
zdefinicją,każdaliczbazespolona
,takaże
,nazywasiępierwiast-
kiemn-tegostopnia(
,
)zliczbyzespolonej
.Zbiórwszystkich
tychpierwiastkówbędziemyoznaczaćsymbolem
(przypominamy,że
wzakresierzeczywistymużywamyjednoznacznegosymbolu
naarytme-
tycznypierwiastekzliczbyrzeczywistejnieujemnej
).Jeśli
,tojedy-
nympierwiastkiemrównania
jestoczywiście
,stąd
.
Wprzypadku
izakładając,że
,
,mamyna
podstawiewzorudeMoivre’ai10:
Otrzymaliśmyzatemnieskończeniewielerozwiązańpostaci
zależnychod
istniejedokładnie
wzorzekolejno
zespolona
ustawićwciąggeometrycznyskończony(zawierający
Zauważmy,żewszystkietepierwiastkimająjednakowymodułrówny
aichargumentytworząrosnący,skończonyciągarytmetycznyopierwszym
madokładnie
,alezokresowościfunkcjicosisinwynika,żewśródnich
różnych,któreotrzymujemy,przyjmującnaprzykładwe
,
,
różnychpierwiastkówzespolonych,któremożna
...,
.Zatemkażdaniezerowaliczba
wyrazów)
,
wyrazie
iróżnicy
.Winterpretacjigeometrycznejsązatem
wierzchołkamin-kątaforemnego(dla
)wpisanegowokrągośrodku
wpoczątkuukładuipromieniu
(rys.1.3).
13
