Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
I.Wstępdomatematyki
o
1
1
0
0
β
1
0
1
0
o∨β
1
1
1
0
o∧β
1
0
0
0
o⇒βo⇔βŹo
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
Ustalenietakichwartościlogicznychdlaalternatywy,koniunkcji,równoważnoś-
cilubnegacjijestintuicyjniezrozumiałe.Wprzypadkuimplikacjimożebudzić
zdziwienie,żeimplikacjao⇒βjestprawdziwa,gdyojestzdaniemfałszywym,
aβjestzdaniemprawdziwym.Sensownośćtakiegozałożeniawyjaśnimynanastę-
pującymprzykładzie.Wypowiedź„jeżelix>4,tox>2”jestzdaniem,jeżeliza
xpodstawimydowolnąliczbęnaturalną.Jeżeliprzyjmiemy,żedladowolnejliczby
naturalnejxjesttozdanieprawdziwe,towszczególnościbędzieonoprawdziwe
dlaliczb1j3j5.Badającwartośćlogicznązdańx>4ix>2dlax=1j3j5jmożna
sięłatwoprzekonać,żeimplikacjajestprawdziwa,gdyzdanieβjestprawdziwe
lubzdanieojestfałszywe.
Korzystajączfunktorówzdaniotwórczych,możnabudowaćbardziejskompli-
kowanezdania.Naprzykład,jeśliojβiγsązdaniami,to(o∨β⇒o∧β)⇔
(o⇒γ),(o⇒Źβ)∨γsąrównieżzdaniami.
Zdaniezłożoneprawdziwebezwzględunawartośćlogicznązdań,zktórych
jestzbudowane,nazywamyprawemrachunkuzdańlubtautologią.Otoprzykłady
tautologii:
(1)
o⇒o,
(2)
(o⇒β)⇔(Źo∨β),
(3)
Ź(o∧β)⇔(Źo∨Źβ),Ź(o∨β)⇔(Źo∧Źβ)(prawadeMor-
gana),
(4)
(o⇒β)⇔(Źβ⇒Źo)(prawokontrapozycji),
(5)
Ź(o⇒β)⇔(o∧Źβ),
(6)
Ź(Źo)⇔o(prawopodwójnegoprzeczenia),
(7)
o∨β⇔β∨o,
o∧β⇔β∧o(prawaprzemienności),
(8)
(o∨β)∨γ⇔o∨(β∨γ),(o∧β)∧γ⇔o∧(β∧γ)(prawałączno-
ści),
(9)
o∧(β∨γ)⇔(o∧β)∨(o∧γ)(praworozdzielnościkoniunkcjiwzglę-
demalternatywy),
(10)
o∨(β∧γ)⇔(o∨β)∧(o∨γ)(praworozdzielnościalternatywywzglę-
demkoniunkcji).
