Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Elementylogikiiteoriizbiorów
15
Prawalogicznemożnasprawdzić,posługującsiętabelką„zero-jedynkową”.Na
przykładprawo(o⇒β)⇔(Źo∨β)sprawdzamy,obliczającwartościlogiczne
zdańo⇒β,Źo,Źo∨βi(o⇒β)⇔(Źo∨β)dlaposzczególnychwartości
logicznychoiβ.Wtymprzypadkumamynastępującątabelkę:
o
1
1
0
0
β
1
0
1
0
o⇒βŹoŹo∨β
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
(o⇒β)⇔(Źo∨β)
1
1
1
1
Wprzypadkubardziejrozbudowanychzdańmetodatabelkistajesięniewy-
godna.Gdyzdaniezawieradużąliczbęimplikacjilubalternatyw,wygodniejjest
zastosowaćmetodęsprowadzaniadoniedorzeczności.Wmetodzietejzakładamy,
żezdanieniejestprawdziwedlapewnychwartościlogicznychzdańpodstawowych,
anastępniestwierdzamy,żejesttoniemożliwe.Naprzykładmamysprawdzićtau-
tologię(o⇒β)⇒[(o∧γ)⇒β].Niechw(Φ)oznaczawartośćlogicznązdaniaΦ.
Sprawdzamy,czyw((o⇒β)⇒[(o∧γ)⇒β])=0dlapewnychwartościlogicz-
nychzdańojβiγ.Gdybytakbyło,tomielibyśmyw(o⇒β)=1iw((o∧γ)⇒
β)=0.Korzystajączdrugiegowyrażenia,otrzymujemyw(o∧γ)=1iw(β)=0.
Stądwynika,żew(o)=1,w(γ)=1iw(β)=0.Zatemw(o⇒β)=0,cojest
sprzecznezwcześniejwyprowadzonymwzoremw(o⇒β)=1.Nieistniejąwięc
takiewartościlogicznezdańojβiγ,dlaktórychwartośćlogicznazdania(o⇒
β)⇒[(o∧γ)⇒β]wynosi0.Jesttozatemzdanieprawdziwedladowolnychwar-
tościlogicznychzdańojβiγ,czylitautologia.
Podamyterazprzykładzastosowaniarachunkuzdańdobudowysiecilogicz-
nychwmaszynachcyfrowych.Siećskładasięzpołączonychzesobątrzechro-
dzajówelementówpodstawowych:sumatorów,iloczynówinegatorów,któreozna-
czamyodpowiednio:
Przykładsieci:
E
,
§
,
ł
.
a
§
b
c
z=[(Źa∨b)∨(b∧c)]∧(Źc).
z
Przykład1.Przedstawimyzapomocąsiecilogicznejdodawanieliczbjedno-
cyfrowychaibwsystemiedwójkowym.Niecha+b=(cjd),gdziecjestcyfrąna
