Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Zbioryliczbowe
Podzbioryzbioruliczbrzeczywistychspełniają
35
Aksjomatciągłości.JeżelizbiórAjestniepustyiograniczonyzdołu,to
istniejenajwiększaliczbaograniczającagozdołu.
Największąliczbęograniczającązbiórzdołunazywamykresemdolnymiozna-
czamysymboleminfA.LiczbamjestkresemdolnymzbioruAwtedyitylko
wtedy,gdyspełniawarunki
^
m≤x
oraz
^
V
x<m+ε.
x∈A
ε>o
x∈A
Analogicznienajmniejsząliczbęograniczającązbiórzgórynazywamykresem
górnymioznaczamysymbolemsupA.LiczbaMjestkresemgórnymzbioruA
wtedyitylkowtedy,gdyspełniawarunki
^
x≤M
oraz
^
V
x>M−ε.
x∈A
ε>o
x∈A
Zaksjomatuciągłościwynikanastępującywniosek.
Wniosek.JeżelizbiórAjestniepustyiograniczonyzgóry,tomakresgórny.
Dowód.NiechBbędziezbioremwszystkichliczbograniczającychzbiórA
zgóry.WtedyBjestzbioremniepustymiograniczonymzdołu(przezjakikol-
wiekelementzbioruA).ZaksjomatuciągłościzbiórBmakresdolny.Niech
M=infB.Wystarczysprawdzić,żeM∈B,bowtedyMjestnajmniejsząliczbą
ograniczającązbiórAzgóry.GdybyM/∈B,toMnieograniczałobyzbioruA
zgóry.Zatemistniałbyelementa∈Ataki,żea>M.Ponieważajestelementem
zbioruA,więcaograniczazbiórBzdołu.StądMniejestkresemdolnymzbioru
B,boa>M.Zotrzymanejsprzecznościwynika,żeM∈B.
Uwaga2.JeżelizbiórA⊂Rniejestograniczonyzdołu,toprzyjmujemy
infA=−∞,ajeżeliniejestograniczonyzgóry,toprzyjmujemysupA=∞.
Aksjomatciągłościmożnasformułowaćwinnysposób.Udowodnimynastępu-
jącetwierdzenie.
Twierdzenie3.JeżeliAiBsąniepustymipodzbioramiRtakimi,że
(8)
R=A∪B,
A∩B=∅,
(9)
(x∈A∧g∈B)⇒x<g,
toalbozbiórAmaelementnajwiększy,albozbiórBmaelementnajmniejszy.
Dowód.ZbiórBjestograniczonyzdołu,więcmakresdolny.Niechb=infB.
Ponieważdowolnyelementa∈AograniczazbiórBzdołu,więca≤b.Jeżeli
b∈A,tozostatniejnierównościwynika,żebjestelementemnajwiększymzbioru
A.Jeżelib∈B,tozdefinicjikresudolnegobjestelementemnajmniejszymzbioru
B.
