Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Zbioryliczbowe
37
Niechz=x+gi.Liczbęxnazywamyczęściąrzeczywistąliczbyzioznaczamy
Rez,aliczbęgczęściąurojonąliczbyzioznaczamyImz.
Zbiórliczbzespolonychzdziałaniamidodawaniaimnożenia,zzerem0=(0j0)
ijedynką1=(1j0)jestciałem.Jedyniesprawdzenieaksjomatu(C8)(istnienie
elementuodwrotnego)sprawiapewnetrudności.Aksjomat(C8)sprawdzimy,od-
gadującwsposóbnieformalnywzórnailorazliczbzespolonych:
x1+g1i
x2+g2i
=
(x1+g1i)(x2−g2i)
(x2+g2i)(x2−g2i)
=
(x1x2+g1g2)+(g1x2−x1g2)i
x2
2+g2
2
Stądwszczególności
x+gi
=
x2+g2
x−gi
=
x2+g2
x
−
x2+g2
g
i.
1
Następniesprawdzamy,wykonującmnożenie,żeliczba
x2+g2
x
−
x2+g2
g
i
jestodwrotnadoliczbyx+gi:
(x+gi)·(
x2+g2
x
−
x2+g2
g
i)=
xx+gg
x2+g2
+
gx−xg
x2+g2
i=1.
Przyobliczaniuilorazuliczbzespolonychx1+g1i,x2+g2imnożyliśmylicz-
nikimianownikułamkaprzezliczbęx2−g2i.Stądcelowejestwprowadzeniena-
stępującejdefinicji.Liczbąsprzężonądoliczbyzespolonejz=x+ginazywamy
liczbę¯
z=x−gi.Zdefinicjiliczbysprzężonejwynikająnastępującewzory:
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(¯
z)=zj
z+¯
z=2xj
z−¯
z=2gij
z¯
z=x2+g2j
z1+z2=¯
z1+¯
z2j
z1−z2=¯
z1−¯
z2j
z1z2=¯
z1¯
z2j
(
z1
z2)=
z1
z2
¯
¯
j
gdyz2/=0.
Wartościąbezwzględną(inaczejmodułem)liczbyzespolonejz=x+ginazy-
wamyliczbęrzeczywistą
(20)
|z|=dx2+g2.
Korzystajączewzoru(16),mamynatychmiast
(21)
|z|
2=z¯
z.
