Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WykładI.Zbioryuporządkowane
*Uporządkowaniazbioru*Skokiiluki*Uporządkowaniaciągłe*Kresygórneidolne
*Przedziałyzbioruuporządkowanego*Zbiorywypukłe*Podzbioryporządkowogę-
ste1ośrodkowośćporządkowa*TwierdzeniaCantora*Charakteryzacjaporządkowa
zbioruliczbrzeczywistych
Obiektemmatematycznymmotywującympojęciespójnościbyłazbudowana
przezDedekindaprostarzeczywista.Podstawowąstrukturąprostejrzeczy-
wistejjestjejuporządkowanie.Własnośćtegouporządkowanianazywana
ciągłościąokazujesięwzakresiezbiorówmającychuporządkowaniesynoni-
mempóźniejwprowadzonegopojęciaspójności.Jakkolwiekpojęcietozyskało
zczasemznaczeniewszerokimzakresieprzestrzenitopologicznych,tojednak
zakresprzestrzenitopologicznychuporządkowanychpozostajenadalzakresem
motywującymzasadniczepojęciadotyczącespójności.
Uporządkowaniazbioru
Przezuporządkowaniezbiorurozumiesięrelację<wiążącąelementytego
zbioru,którajest
(1)
(2)
(3)
zwrotna,tj.taka,żejestzawszex<x,
antysymetryczna,tj.taka,żex<yiy<xpociągax=y,
przechodnia,tj.taka,żex<yiy<zpociągax<z,i
(4)
liniowa,tj.taka,żejestzawszebądźx<y,bądźy<x,dlawszelkichxiy.
Zbiórzdanąnanimrelacjąuporządkowaniabędzienazywanyzbioremupo-
rządkowanym.
Jeślix<yix≠y,topiszesięx<yiczytasięxmniejszeniży(lubxwcześ-
niejszeniży,lubxpoprzedzay).Będziemynazywaćrelację<nierównościąostrą,
anierównośćx<y,nazywanasłabą,możebyćrozumianajakoxmniejszeniży
lubrówney.
Przykładyuporządkowań,którebędziemymiećstalenauwadze,toznane
uporządkowania1określonearytmetycznie1zbiorówliczbnaturalnych,cał-
kowitych,wymiernychirzeczywistych.
Jeślirelacja<niemawłasności(4),tonazywasięjąuporządkowaniemczę-
ściowym;tegorodzajurelacjąjestzawieraniesięzbiorów.
11
