Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
JeśliwięczbióruporządkowanywsposóbciągłyrozbićnadwazbioryAiB
takie,żekażdyelementzbioruAjestmniejszyodkażdegoelementuzbioruB1
tj.utworzyćprzekrój1tobądźwzbiorzeAbędzieelementnajwiększy,bądź
wzbiorzeBbędzieelementnajmniejszyiteprzypadkisięwykluczają.
Przykłademuporządkowaniaciągłegojestuporządkowaniezbioruliczb
rzeczywistych.Uporządkowanieliczbwymiernychmaluki,niemającskoków.
Uporządkowanieliczbcałkowitychmaskoki,niemającluk.
Kresygórneidolne
Dopojęciaciągłościuporządkowaniamożnadojść,wychodzączinnego
rodzajuwyobrażeń.
NiechXbędziezbioremuporządkowanymrelacją<.Przezkresgórnypod-
zbioruAzbioruXrozumiemynajmniejszyspośródtychelementówxzbioruX,
któreograniczajązgóryzbiórA,tj.tychelementówx,dlaktórycha<xdla
wszystkichazezbioruA.
JeślielementemograniczającymzbiórAjestelementzbioruA,to,oczywiście,ten
elementjestkresemgórnymzbioruA;jesttowtedynajwiększyelementzbioruA.
Niekażdypodzbiórmusimieć3kresgórny,ajeślima,totenkresgórnyniemusinależeć
dotegopodzbioru.Wzbiorzeliczbrzeczywistychzbiórliczbcałkowitychniemakresugórnego,bo
niemaliczb,którebytenzbiórograniczały;zbiórliczbrzeczywistychujemnychjestograniczony
przezkażdązliczbnieujemnychiżadnaliczbaujemnaniejesttakimograniczeniem;kresem
górnymtegozbiorujestliczba0,któradońnienależy.
Twierdzenie.Jeśliuporządkowaniezbioruniemaluk,tokażdyjegopod-
zbiórograniczonyzgóryiniepusty4mawnimkresgórny.
Dowód.NiechAbędziepodzbioremniepustymzbioruX,ograniczonymzgóry.
JeśliwśródelementówograniczającychzgóryzbiórAjestelementzbioruA,to,na
mocypoczynionejwcześniejuwagi,jestonkresemgórnymzbioruA.Wykluczmy
więctenprzypadekirozważmywrazzkażdymelementemazbioruAzbiórXa=
{xÎX:x<a}.ZsumujmywszystkiezbioryXa;otrzymanywtensposóbzbiórXA
jestniepusty(boAjestniepuste)iwrazzeswoimdopełnieniem(równieżniepustym)
tworzyprzekrój.WrozważanymprzeznasprzypadkuzbiórX
A
niemaelementu
największego,awobecnieistnienialukwuporządkowaniuzbioruXwdopełnieniu
zbioruXAistniejeelementnajmniejszy.JesttokresgórnyzbioruA.
Wynikanieodwrotnejestoczywiste:lukaznaczyistnieniezbioruograni-
czonegozgóryniemającegokresugórnego.Stąduporządkowaniezbioruniema
3Powiedzenie,żezbiórmakresgórny,jestzaszłościąjęzykową,którakłócisięzpotocznym
znaczeniemsłowamawsytuacji,kiedytenkresdozbiorunienależy.
4Kresemgórnympodzbiorupustegojest1zgodniezprzyjętymokreśleniemkresugórnego
1najmniejszyelementzbioru.Jesttofaktbędącynastępstwemprzyjętegoprzeznasformalizmu
logicznego.Niejesttojedynaniespodzianka,jakąsprawiazbiórpusty;por.natentematartykuł
A.Wiwegera:Kłopotyzezbiorempustym.„WiadomościMatematyczne”11(1970),1871199.
Dlategoniemożemyżądaćwtezietwierdzenia,abyrównieżpodzbiórpustymiałswójkresgórny,
tobowiemwymagałobyzałożenia,byrozważanyzbiórmiałelementnajmniejszy.
13
