Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PEWNEELEMENTARNENIERÓWNOŚCI
(a)
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
≥(a+b+c),
(b)
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
√bc
1
+
√ca
1
+
√ab
1
,
(c)
b+c
2
+
c+a
2
+
a+b
2
≥
a+b+c
9
,
(d)
b21a2
c+a
+
c21b2
a+b
+
a21c2
b+c
≥0,
(e)
1
8
(a1b)2
a
≤
a+b
2
−√ab≤
1
8
(a1b)2
b
dla
b≤a.
1.2.30.Niechak∈R,bk>0,kl1,2,...,n,iniech
11
mlmin{
ak
bk
:kl1,2,...,n}orazMlmax{
ak
bk
:kl1,2,...,n}.
Pokazać,że
m≤
a1+a2+...+an
b1+b2+...+bn
≤M.
1.2.31.Załóżmy,że0<o1<o2<...<on<
π
2
,n>1.Wykazać,że
tgo1<
cos01+cos02+...+cos0n
sin01+sin02+...+sin0n
<tgon.
1.2.32.Niechc1,c2,...,cnbędądowolnymiliczbamirzeczywistymidodatnimia
k1,k2,...,kndowolnymiliczbaminaturalnymiiniech
Slmax{
k1
√c1,
k2
√c2,...,
kn
√cn},
slmin{
k1
√c1,
k2
√c2,...,
kn
√cn}.
Udowodnić,że
s≤(a1a2·...·an)
k1+k2+...+kn≤S.
1
1.2.33.Niechak>0,bk>0dlakl1,2,...,niniech
Mlmax{
ak
bk
:kl1,2,...,n}.Pokazać,że
b1+Mb2
a1+a2
2+...+Mn11bn
2+...+an
n
n
≤M.
1.2.34.Udowodnić,żejeślixjestliczbąwiększąodkażdejzliczba1,a2,...,an,
to
x1a1
1
+
x1a2
1
+...+
x1an
1
≥
x1
a1+a2+...+an
n
n
.
1.2.35.Niechckl(
n
k)dlakl0,1,2,...,n.Wykazać,że
√c1+√c2+...+√cn≤dn(2n−1).
