Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.PEWNEELEMENTARNENIERÓWNOŚCI
13
1.2.43.Załóżmy,żeak,kl1,2,...,n,sątakimiliczbaminieujemnymi,że
a1+a2+...+anl1.Wykazać,że
n
n
n
n
(a)
Π
(1+ak)≥(n+1)
n
Π
ak,
(b)
Π
(1−ak)≥(n−1)
n
Π
ak.
k=1
k=1
k=1
k=1
1.2.44.Wykazać,żejeśliak,kl1,2,...,n,sąliczbamidodatnimispełniają-
cymiwarunek
k=1
Σ
n
1+ak
1
ln−1,
to
k=1
Π
n
ak
1
≥(n−1)n.
1.2.45.Wykazać,żeprzyzałożeniachzadania1.2.43prawdziwajestnierówność
k=1
Π
n
(1+ak)
Π
n
(11ak)
(n+1)n
≥
k=1
(n11)n
,
n>1.
1.2.46.Udowodnićnastępującenierówności:
(a)Jeśli0<a1≤a2≤...≤an,to
a2+a3
a1
+
a3+a4
a2
+...+
an11+an
an12
+
an+a1
an11
+
a1+a2
an
≥
n
2
.
(b)Jeślia1,a2,a3sądowolnymiliczbamidodatnimi,to
a2+a3
a1
+
a3+a1
a2
+
a1+a2
a3
≥
3
2
.
(c)Jeślia1,a2,...,ansądowolnymiliczbamidodatnimi,to
a2+a3
a1
+
a3+a4
a2
+...+
an11+an
an12
+
an+a1
an11
+
a1+a2
an
≥
n
4
.
1.2.47.Udowodnić,żejeślia1,a2,...,ansądowolnymiliczbamirzeczywistymi,
tonierówność
k=1
Σ
n
d'ak1t'
2k
≥
k=2
Σ
n
d'ak1a1'
2k
jestprawdziwadlakażdejliczbyrzeczywistejt.
1.2.48.Udowodnić,żejeślia1,a2,...,anorazb1,b2,...,bnsądowolnymilicz-
bamidodatnimi,toprawdziwajestnierówność
d(a1+b1)(a2+b2)·...·(an+bn)≥n
n
√a1a2·...·an+
db1b2·...·bn.
n
